Uma haste infinitamente longa e de massa uniforme
por unidade de comprimento, está situada sobre o eixo
. (d) Determine a energia potencial correspondente
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma haste que é infinitamente longa e tem uma massa uniforme representada por μ (massa por unidade de comprimento). Ela está posicionada sobre o eixo z. A parte (d) do exercício nos pede para determinar a energia potencial correspondente, que chamaremos de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia potencial gravitacional em sistemas contínuos, ou seja, onde a massa está distribuída ao longo de um comprimento infinito. Vamos usar conceitos de cálculo integral para somar as contribuições de energia de cada pedacinho da haste.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional
entre dois elementos de massa é dada por:
Aqui,
é a constante gravitacional,
e
são as massas dos elementos,
é a distância entre eles, e
representa um elemento de comprimento.
No nosso caso, a haste é infinita e tem massa por unidade de comprimento
. Isso significa que cada pedacinho de comprimento
tem massa
.
Passo 3
Como a haste está sobre o eixo z, vamos considerar dois pontos quaisquer na haste, digamos,
e
. A distância entre esses dois pontos é
.
A energia potencial entre esses dois elementos de massa será:
Passo 4
Para encontrar a energia potencial total
, precisamos somar todas essas contribuições para todos os pares de pontos na haste. Isso significa que vamos integrar sobre todo o eixo z:
Passo 5
No entanto, percebemos que essa integral envolve a distância entre pontos em uma haste infinita, o que leva a uma divergência (a integral tende ao infinito). Isso acontece porque estamos somando energia potencial para uma quantidade infinita de massa.
Portanto, a energia potencial
para uma haste infinitamente longa não é finita; na verdade, ela tende ao infinito.
Resposta
A energia potencial correspondente
para a haste infinitamente longa é infinita.