Uma haste infinitamente longa e de massa uniforme por unidade de comprimento, está situada sobre o eixo . (d) Determine a energia potencial correspondente .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma haste que é infinitamente longa e tem uma massa uniforme representada por μ (massa por unidade de comprimento). Ela está posicionada sobre o eixo z. A parte (d) do exercício nos pede para determinar a energia potencial correspondente, que chamaremos de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia potencial gravitacional em sistemas contínuos, ou seja, onde a massa está distribuída ao longo de um comprimento infinito. Vamos usar conceitos de cálculo integral para somar as contribuições de energia de cada pedacinho da haste.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional entre dois elementos de massa é dada por:
Aqui, é a constante gravitacional, e são as massas dos elementos, é a distância entre eles, e representa um elemento de comprimento.
No nosso caso, a haste é infinita e tem massa por unidade de comprimento . Isso significa que cada pedacinho de comprimento tem massa .

Passo 3

Como a haste está sobre o eixo z, vamos considerar dois pontos quaisquer na haste, digamos, e . A distância entre esses dois pontos é .
A energia potencial entre esses dois elementos de massa será:

Passo 4

Para encontrar a energia potencial total , precisamos somar todas essas contribuições para todos os pares de pontos na haste. Isso significa que vamos integrar sobre todo o eixo z:

Passo 5

No entanto, percebemos que essa integral envolve a distância entre pontos em uma haste infinita, o que leva a uma divergência (a integral tende ao infinito). Isso acontece porque estamos somando energia potencial para uma quantidade infinita de massa.
Portanto, a energia potencial para uma haste infinitamente longa não é finita; na verdade, ela tende ao infinito.

Resposta

A energia potencial correspondente para a haste infinitamente longa é infinita.

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