Quais das seguintes forças são conservativas? (a) , onde é uma constante. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial correspondente e verifique por derivação direta que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a força é conservativa. Se for, a gente também precisa encontrar a energia potencial correspondente e checar se . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e o rotor (ou curl).

Passo 2

Primeiro, o que é uma força conservativa? Uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza é independente do caminho percorrido, dependendo só dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso significa que o rotor (curl) da força é zero. Então, para saber se é conservativa, vamos calcular o rotor dela.

Passo 3

Vamos calcular o rotor de . O rotor de um vetor é dado por:
Calculando cada componente:
Portanto,
Como o rotor é zero, a força é conservativa.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativa, vamos encontrar a energia potencial tal que . O gradiente de é:
Então, temos:
Vamos integrar cada equação para encontrar .
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Comparando com a expressão anterior, notamos que deve ser compatível com , então:
Para a terceira equação:
Compatibilizando todas as expressões, temos:
Podemos ignorar a constante, então:

Passo 5

Vamos verificar se . Calculando o gradiente de :
Portanto,
A verificação confirma que .

Resposta

A força é conservativa e sua energia potencial correspondente é . Além disso, verifica-se que .

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