A demonstração de que a condição
, garantindo que o trabalho
realizado por
é independente do caminho, é, infelizmente, muito longa para ser incluída aqui. Entretanto, os três exercícios a seguir exploram os pontos principais:
Enquanto a demonstração geral do teorema de Stokes está além do escopo deste livro, o caso especial a seguir é bastante fácil de demonstrar (e é um importante passo na direção da demonstração geral): seja
denotando um caminho retangular fechado contido sobre um plano perpendicular à direção
limitado pelas retas
e
. Para este caminho simples (percorrido no sentido anti-horário, quando visto de cima), mostre o teorema de Stokes
onde
a integral da direita atua sobre a área plana retangular interior a
. [Sugestão: a integral da esquerda contém quatro termos, dois dos quais são integrais sobre
e dois sobre y. Se agrupá-los dessa forma, você pode combinar cada par em uma única integral com um integrando da forma
(ou um termo similar com os significados de
e
permutados). Você pode escrever essa integração como uma integral de
sobre y (e da mesma forma com o outro termo), o que você reconhece.]
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar o Teorema de Stokes para um caminho retangular no plano XY, com as bordas em
,
,
e
. A ideia é provar que a integral de linha de um campo vetorial
ao redor desse retângulo é igual à integral dupla do rotacional de
sobre a área interna. Para isso, vamos precisar entender como dividir a integral de linha em partes e relacionar com as derivadas parciais do campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral de linha ao redor do caminho
. Como o retângulo tem quatro lados, a integral vai se dividir em quatro partes:
Aqui,
a
são os quatro lados do retângulo.
Passo 3
Vamos parametrizar cada lado:
-
: de a , movimento ao longo do eixo . -
: de a , movimento ao longo do eixo . -
: de a , movimento ao longo do eixo , mas negativo. -
: de a , movimento ao longo do eixo , mas negativo.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada integral:
-
:
Aqui,, então . Assim, a integral fica: -
:
Aqui,, então . Assim, a integral fica: -
:
Aqui,, mas estamos indo de para , então: -
:
Aqui,, mas estamos indo de para , então:
Passo 5
Vamos juntar todas as integrais:
Podemos agrupar os termos com integrais em
e em
:
Passo 6
Agora, vamos utilizar a definição de derivada parcial. A diferença
pode ser aproximada pela derivada de
em relação a
multiplicada por
:
De forma similar para
:
Então, substituindo na integral:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos:
Como
e
são constantes, podemos escrever:
Passo 8
Perceba que
é exatamente a componente
do rotacional de
, ou seja:
Então, a integral fica:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso confirma o Teorema de Stokes para o caminho retangular especificado.