A demonstração de que a condição , garantindo que o trabalho realizado por é independente do caminho, é, infelizmente, muito longa para ser incluída aqui. Entretanto, os três exercícios a seguir exploram os pontos principais: Enquanto a demonstração geral do teorema de Stokes está além do escopo deste livro, o caso especial a seguir é bastante fácil de demonstrar (e é um importante passo na direção da demonstração geral): seja denotando um caminho retangular fechado contido sobre um plano perpendicular à direção limitado pelas retas e . Para este caminho simples (percorrido no sentido anti-horário, quando visto de cima), mostre o teorema de Stokes
onde a integral da direita atua sobre a área plana retangular interior a . [Sugestão: a integral da esquerda contém quatro termos, dois dos quais são integrais sobre e dois sobre y. Se agrupá-los dessa forma, você pode combinar cada par em uma única integral com um integrando da forma (ou um termo similar com os significados de e permutados). Você pode escrever essa integração como uma integral de sobre y (e da mesma forma com o outro termo), o que você reconhece.]

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar o Teorema de Stokes para um caminho retangular no plano XY, com as bordas em , , e . A ideia é provar que a integral de linha de um campo vetorial ao redor desse retângulo é igual à integral dupla do rotacional de sobre a área interna. Para isso, vamos precisar entender como dividir a integral de linha em partes e relacionar com as derivadas parciais do campo .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral de linha ao redor do caminho . Como o retângulo tem quatro lados, a integral vai se dividir em quatro partes:
Aqui, a são os quatro lados do retângulo.

Passo 3

Vamos parametrizar cada lado:
  • : de a , movimento ao longo do eixo .
  • : de a , movimento ao longo do eixo .
  • : de a , movimento ao longo do eixo , mas negativo.
  • : de a , movimento ao longo do eixo , mas negativo.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada integral:
  • :
    Aqui, , então . Assim, a integral fica:
  • :
    Aqui, , então . Assim, a integral fica:
  • :
    Aqui, , mas estamos indo de para , então:
  • :
    Aqui, , mas estamos indo de para , então:

Passo 5

Vamos juntar todas as integrais:
Podemos agrupar os termos com integrais em e em :

Passo 6

Agora, vamos utilizar a definição de derivada parcial. A diferença pode ser aproximada pela derivada de em relação a multiplicada por :
De forma similar para :
Então, substituindo na integral:

Passo 7

Vamos reorganizar os termos:
Como e são constantes, podemos escrever:

Passo 8

Perceba que é exatamente a componente do rotacional de , ou seja:
Então, a integral fica:

Resposta

Portanto, mostramos que:
Isso confirma o Teorema de Stokes para o caminho retangular especificado.

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