Usando os resultados do Problema 4.18, determine um vetor unitário normal à superfície
no ponto
. Em que direção se deve mover a partir desse ponto para maximizar a taxa de variação de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar um vetor unitário normal à superfície definida por
no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente, sobre gradientes e vetores normais. Para resolver isso, precisamos entender como encontrar o vetor normal usando o gradiente da função que define a superfície e depois normalizar esse vetor para torná-lo unitário. Além disso, vamos descobrir em qual direção devemos nos mover para que a taxa de variação de
seja máxima.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o vetor normal à superfície
no ponto dado. Sabemos que o gradiente de uma função
, denotado por
, é sempre normal à superfície definida por
. Ou seja,
é perpendicular à superfície em cada ponto.
Passo 3
Então, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Infelizmente, não temos o enunciado do Problema 4.18, mas geralmente, esse tipo de problema envolve uma função implícita. Vamos supor que
seja uma função diferenciável em
.
Passo 4
Depois de obter
, avaliamos esse gradiente no ponto
. Esse vetor será normal à superfície naquele ponto.
Passo 5
Agora, para tornar esse vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1, dividimos o vetor pelo seu módulo. O módulo de um vetor
é dado por:
Passo 6
Quanto à direção para maximizar a taxa de variação de
, sabemos que a direção do gradiente
é exatamente a direção em que a função
cresce mais rapidamente a partir daquele ponto. Então, para maximizar a taxa de variação de
, devemos nos mover na direção do gradiente.
Resposta
O vetor unitário normal à superfície
no ponto
é:
E para maximizar a taxa de variação de
, devemos nos mover na direção do vetor gradiente
.