Usando os resultados do Problema 4.18, determine um vetor unitário normal à superfície no ponto . Em que direção se deve mover a partir desse ponto para maximizar a taxa de variação de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar um vetor unitário normal à superfície definida por no ponto . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente, sobre gradientes e vetores normais. Para resolver isso, precisamos entender como encontrar o vetor normal usando o gradiente da função que define a superfície e depois normalizar esse vetor para torná-lo unitário. Além disso, vamos descobrir em qual direção devemos nos mover para que a taxa de variação de seja máxima.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o vetor normal à superfície no ponto dado. Sabemos que o gradiente de uma função , denotado por , é sempre normal à superfície definida por . Ou seja, é perpendicular à superfície em cada ponto.

Passo 3

Então, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável:
Infelizmente, não temos o enunciado do Problema 4.18, mas geralmente, esse tipo de problema envolve uma função implícita. Vamos supor que seja uma função diferenciável em .

Passo 4

Depois de obter , avaliamos esse gradiente no ponto . Esse vetor será normal à superfície naquele ponto.

Passo 5

Agora, para tornar esse vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1, dividimos o vetor pelo seu módulo. O módulo de um vetor é dado por:

Passo 6

Quanto à direção para maximizar a taxa de variação de , sabemos que a direção do gradiente é exatamente a direção em que a função cresce mais rapidamente a partir daquele ponto. Então, para maximizar a taxa de variação de , devemos nos mover na direção do gradiente.

Resposta

O vetor unitário normal à superfície no ponto é:
E para maximizar a taxa de variação de , devemos nos mover na direção do vetor gradiente .

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