Para ilustrar o uso de um foguete com múltiplos estágios, considere o seguinte: Um certo foguete transporta de sua massa inicial como sendo combustível (ou seja, a massa do combustível é ). Qual é a velocidade final do foguete acelerando a partir do repouso no espaço livre, se ele consome todo o seu combustível em um único estágio? Expresse sua resposta como um múltiplo de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Temos um foguete cuja massa inicial é . Desses, é combustível, ou seja, a massa do combustível é . O foguete parte do repouso no espaço livre e consome todo o combustível em um único estágio. Queremos descobrir qual será a velocidade final do foguete, expressa como múltiplo de , que é a velocidade de exaustão dos gases.
Para resolver isso, vamos usar a Equação do Foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a variação de velocidade do foguete com a massa inicial, a massa final e a velocidade de exaustão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação do Foguete de Tsiolkovsky. Ela é dada por:
Onde:
  • é a variação de velocidade do foguete.
  • é a velocidade de exaustão dos gases.
  • é a massa inicial do foguete (com todo o combustível).
  • é a massa final do foguete (após todo o combustível ter sido consumido).
  • é o logaritmo natural.
Essa equação nos mostra que a velocidade final do foguete depende da razão entre a massa inicial e a massa final, e da velocidade com que os gases são expelidos.

Passo 3

Agora, vamos identificar e no nosso problema.
Sabemos que:
  • Massa inicial .
  • Massa do combustível .
Portanto, a massa final após o combustível ser consumido é:

Passo 4

Com isso, podemos substituir os valores na Equação do Foguete de Tsiolkovsky:
Note que se cancela na fração:
Então, a equação fica:

Passo 5

Finalmente, queremos expressar a velocidade final como múltiplo de . Já temos isso na equação:
Portanto, a velocidade final do foguete é vezes a velocidade de exaustão .

Resposta

A velocidade final do foguete é .

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