Para ilustrar o uso de um foguete com múltiplos estágios, considere o seguinte: Um certo foguete transporta
de sua massa inicial como sendo combustível (ou seja, a massa do combustível é
). Qual é a velocidade final do foguete acelerando a partir do repouso no espaço livre, se ele consome todo o seu combustível em um único estágio? Expresse sua resposta como um múltiplo de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Temos um foguete cuja massa inicial é
. Desses,
é combustível, ou seja, a massa do combustível é
. O foguete parte do repouso no espaço livre e consome todo o combustível em um único estágio. Queremos descobrir qual será a velocidade final do foguete, expressa como múltiplo de
, que é a velocidade de exaustão dos gases.
Para resolver isso, vamos usar a Equação do Foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a variação de velocidade do foguete com a massa inicial, a massa final e a velocidade de exaustão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação do Foguete de Tsiolkovsky. Ela é dada por:
Onde:
-
é a variação de velocidade do foguete. -
é a velocidade de exaustão dos gases. -
é a massa inicial do foguete (com todo o combustível). -
é a massa final do foguete (após todo o combustível ter sido consumido). -
é o logaritmo natural.
Essa equação nos mostra que a velocidade final do foguete depende da razão entre a massa inicial e a massa final, e da velocidade com que os gases são expelidos.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
no nosso problema.
Sabemos que:
- Massa inicial
. - Massa do combustível
.
Portanto, a massa final
após o combustível ser consumido é:
Passo 4
Com isso, podemos substituir os valores na Equação do Foguete de Tsiolkovsky:
Note que
se cancela na fração:
Então, a equação fica:
Passo 5
Finalmente, queremos expressar a velocidade final
como múltiplo de
. Já temos isso na equação:
Portanto, a velocidade final do foguete é
vezes a velocidade de exaustão
.
Resposta
A velocidade final do foguete é
.