Considere um planeta orbitando em torno do Sol considerado fixo. Tome o plano da órbita do planeta como sendo o plano , com o Sol na origem e considere a posição do planeta em coordenadas polares . Mostre que o momento angular do planeta tem magnitude , onde é a velocidade angular do planeta em torno do Sol.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um planeta orbitando o Sol, que está fixo na origem de um plano chamado . A posição do planeta é dada em coordenadas polares . Nosso objetivo é mostrar que o momento angular desse planeta é , onde é a velocidade angular do planeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. No contexto da física, o momento angular ( ) de um objeto em movimento é dado pelo produto vetorial entre a posição ( ) e o momento linear ( ) do objeto:
Onde , sendo a massa do objeto e sua velocidade.

Passo 3

Como estamos trabalhando em coordenadas polares , precisamos expressar a velocidade nesses termos. A velocidade em coordenadas polares tem duas componentes:
  1. Radial: , que é a taxa de variação da distância ao Sol.
  2. Angular: , que é a velocidade tangencial devido à mudança no ângulo .
Então, podemos escrever a velocidade como:

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento angular . Lembrando que , temos:

Passo 5

Vamos fazer essa multiplicação vetorial passo a passo. Primeiro, distribuímos o produto:
Observa que , porque o ângulo entre e é zero e o seno de zero é zero. Então, o primeiro termo desaparece:

Passo 6

Sabemos que em coordenadas polares, . Substituindo isso na expressão:

Passo 7

O produto vetorial em coordenadas polares dá a direção perpendicular ao plano da órbita, que podemos considerar como . Assim:

Passo 8

Finalmente, a magnitude do momento angular é simplesmente o coeficiente de na expressão acima:
Onde é a velocidade angular do planeta.

Resposta

O momento angular do planeta tem magnitude , onde .

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