Considere um planeta orbitando em torno do Sol considerado fixo. Tome o plano da órbita do planeta como sendo o plano
, com o Sol na origem e considere a posição do planeta em coordenadas polares
. Mostre que o momento angular do planeta tem magnitude
, onde
é a velocidade angular do planeta em torno do Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um planeta orbitando o Sol, que está fixo na origem de um plano chamado
. A posição do planeta é dada em coordenadas polares
. Nosso objetivo é mostrar que o momento angular desse planeta é
, onde
é a velocidade angular do planeta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. No contexto da física, o momento angular (
) de um objeto em movimento é dado pelo produto vetorial entre a posição (
) e o momento linear (
) do objeto:
Onde
, sendo
a massa do objeto e
sua velocidade.
Passo 3
Como estamos trabalhando em coordenadas polares
, precisamos expressar a velocidade
nesses termos. A velocidade em coordenadas polares tem duas componentes:
- Radial:
, que é a taxa de variação da distância ao Sol. - Angular:
, que é a velocidade tangencial devido à mudança no ângulo .
Então, podemos escrever a velocidade como:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento angular
. Lembrando que
, temos:
Passo 5
Vamos fazer essa multiplicação vetorial passo a passo. Primeiro, distribuímos o produto:
Observa que
, porque o ângulo entre
e
é zero e o seno de zero é zero. Então, o primeiro termo desaparece:
Passo 6
Sabemos que em coordenadas polares,
. Substituindo isso na expressão:
Passo 7
O produto vetorial
em coordenadas polares dá a direção perpendicular ao plano da órbita, que podemos considerar como
. Assim:
Passo 8
Finalmente, a magnitude do momento angular
é simplesmente o coeficiente de
na expressão acima:
Onde
é a velocidade angular do planeta.
Resposta
O momento angular do planeta tem magnitude
, onde
.