Considere um sistema composto por dois corpos extensos, os quais possuem massas
e
e centros de massa em
e
. Mostre que o
do sistema é dado por
Esse belo resultado significa que, ao determinar o CM de um sistema complicado, você pode tratar as suas componentes como se fossem massas pontuais posicionadas em seus centros de massa separadamente - mesmo quando as partes componentes são elas próprias corpos extensos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o centro de massa (CM) de um sistema com dois corpos extensos. A gente vai usar conceitos de física relacionados ao centro de massa e algumas operações com vetores e massas. Para isso, precisamos entender como calcular o CM de sistemas compostos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa de um objeto é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada para facilitar os cálculos. Para um sistema com várias partes, o CM é como a média ponderada das posições das partes, levando em conta as massas de cada uma.
Passo 3
Agora, vamos considerar os dois corpos extensos com massas
e
, situados nos centros de massa
e
, respectivamente. Queremos encontrar a posição do centro de massa do sistema inteiro, que vamos chamar de
.
Passo 4
A fórmula geral para o centro de massa de um sistema com duas partículas é:
Essa fórmula mostra que o CM do sistema é a soma das posições dos centros de massa de cada corpo, cada uma multiplicada pela sua respectiva massa, tudo dividido pela soma das massas.
Passo 5
Vamos demonstrar essa fórmula. A posição do centro de massa
é definida por:
Onde
é a massa total do sistema.
Passo 6
Aplicando essa definição ao nosso sistema de dois corpos, temos:
Que pode ser reescrito como:
Passo 7
Portanto, chegamos à conclusão de que o centro de massa do sistema é dado por:
Resposta
O centro de massa do sistema é