Considere um sistema composto por dois corpos extensos, os quais possuem massas e e centros de massa em e . Mostre que o do sistema é dado por
Esse belo resultado significa que, ao determinar o CM de um sistema complicado, você pode tratar as suas componentes como se fossem massas pontuais posicionadas em seus centros de massa separadamente - mesmo quando as partes componentes são elas próprias corpos extensos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o centro de massa (CM) de um sistema com dois corpos extensos. A gente vai usar conceitos de física relacionados ao centro de massa e algumas operações com vetores e massas. Para isso, precisamos entender como calcular o CM de sistemas compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa de um objeto é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada para facilitar os cálculos. Para um sistema com várias partes, o CM é como a média ponderada das posições das partes, levando em conta as massas de cada uma.

Passo 3

Agora, vamos considerar os dois corpos extensos com massas e , situados nos centros de massa e , respectivamente. Queremos encontrar a posição do centro de massa do sistema inteiro, que vamos chamar de .

Passo 4

A fórmula geral para o centro de massa de um sistema com duas partículas é:
Essa fórmula mostra que o CM do sistema é a soma das posições dos centros de massa de cada corpo, cada uma multiplicada pela sua respectiva massa, tudo dividido pela soma das massas.

Passo 5

Vamos demonstrar essa fórmula. A posição do centro de massa é definida por:
Onde é a massa total do sistema.

Passo 6

Aplicando essa definição ao nosso sistema de dois corpos, temos:
Que pode ser reescrito como:

Passo 7

Portanto, chegamos à conclusão de que o centro de massa do sistema é dado por:

Resposta

O centro de massa do sistema é

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