Uma partícula de massa está se movendo sobre uma mesa sem atrito e está presa a uma mola de massa desprezível, cujo lado oposto passa através de um orifício sobre a mesa, onde ela é fixada. Inicialmente, a partícula está se movendo em um círculo de raio com velocidade angular , mas agora puxamos a mola na direção do orifício até um comprimento ser formado entre o orifício e a partícula. Qual é a velocidade angular da partícula nesse momento?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que se move sobre uma mesa sem atrito, presa a uma mola sem massa. Inicialmente, ela gira em um círculo com raio e velocidade angular . Depois, puxamos a mola até que o raio diminua para . Precisamos descobrir qual será a nova velocidade angular da partícula nesse novo raio. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. É uma medida de quão difícil é parar uma partícula em movimento rotacional, e para movimentos circulares sem atrito, ele se mantém constante se não houver torque externo atuando. A fórmula do momento angular para uma partícula em movimento circular é:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é o raio da trajetória,
  • é a velocidade angular.

Passo 3

No estado inicial, a partícula tem um raio e uma velocidade angular . Então, o momento angular inicial é:

Passo 4

Após puxar a mola, o raio passa a ser e a velocidade angular muda para . O novo momento angular será:

Passo 5

Como não há atrito nem torque externo atuando, o momento angular se conserva. Portanto, igualamos o momento angular inicial ao final:

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, isolamos para encontrar a nova velocidade angular:

Resposta

A velocidade angular da partícula quando o raio é é:

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