Uma partícula de massa
está se movendo sobre uma mesa sem atrito e está presa a uma mola de massa desprezível, cujo lado oposto passa através de um orifício sobre a mesa, onde ela é fixada. Inicialmente, a partícula está se movendo em um círculo de raio
com velocidade angular
, mas agora puxamos a mola na direção do orifício até um comprimento
ser formado entre o orifício e a partícula. Qual é a velocidade angular da partícula nesse momento?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move sobre uma mesa sem atrito, presa a uma mola sem massa. Inicialmente, ela gira em um círculo com raio
e velocidade angular
. Depois, puxamos a mola até que o raio diminua para
. Precisamos descobrir qual será a nova velocidade angular
da partícula nesse novo raio. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. É uma medida de quão difícil é parar uma partícula em movimento rotacional, e para movimentos circulares sem atrito, ele se mantém constante se não houver torque externo atuando. A fórmula do momento angular
para uma partícula em movimento circular é:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é o raio da trajetória, -
é a velocidade angular.
Passo 3
No estado inicial, a partícula tem um raio
e uma velocidade angular
. Então, o momento angular inicial
é:
Passo 4
Após puxar a mola, o raio passa a ser
e a velocidade angular muda para
. O novo momento angular
será:
Passo 5
Como não há atrito nem torque externo atuando, o momento angular se conserva. Portanto, igualamos o momento angular inicial ao final:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, isolamos
para encontrar a nova velocidade angular:
Resposta
A velocidade angular da partícula quando o raio é
é: