Para ilustrar o uso de um foguete com múltiplos estágios, considere o seguinte: Suponha, em vez disso, que ele consuma o combustível em dois estágios, conforme segue: No primeiro estágio, ele consome uma massa de
de combustível. Ele, então, descarta o tanque de combustível do primeiro estágio, que tem uma massa de
e, em seguida consome os
de combustível restante. Determine a velocidade final nesse caso, assumindo o mesmo valor de
durante todo o tempo, e compare.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício fala sobre foguetes que usam múltiplos estágios para consumir o combustível. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade final desse foguete após consumir o combustível em dois estágios e comparar essa velocidade com um foguete que não usa estágios múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação do foguete de Tsiolkovsky, que nos ajuda a relacionar a massa inicial e final do foguete com a velocidade de exaustão dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação do foguete de Tsiolkovsky, que é:
Aqui,
é a variação de velocidade do foguete,
é a velocidade de exaustão dos gases,
é a massa inicial do foguete e
é a massa final após o consumo do combustível.
Passo 3
No nosso caso, temos dois estágios de consumo de combustível. Vamos calcular a variação de velocidade para cada estágio separadamente e depois somar as duas variações para obter a velocidade final total.
Primeiro Estágio:
- Massa inicial:
- Combustível consumido:
- Massa do tanque descartado:
- Massa após o primeiro estágio:
Aplicando a equação do Tsiolkovsky para o primeiro estágio:
Passo 4
Segundo Estágio:
- Massa inicial para o segundo estágio:
- Combustível consumido:
- Massa após o segundo estágio:
Aplicando novamente a equação do Tsiolkovsky para o segundo estágio:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas variações de velocidade para obter a velocidade final total do foguete:
Podemos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 6
Simplificando ainda mais:
Resposta
A velocidade final do foguete, após consumir o combustível em dois estágios conforme descrito, é aproximadamente
.