Para ilustrar o uso de um foguete com múltiplos estágios, considere o seguinte: Suponha, em vez disso, que ele consuma o combustível em dois estágios, conforme segue: No primeiro estágio, ele consome uma massa de de combustível. Ele, então, descarta o tanque de combustível do primeiro estágio, que tem uma massa de e, em seguida consome os de combustível restante. Determine a velocidade final nesse caso, assumindo o mesmo valor de durante todo o tempo, e compare.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício fala sobre foguetes que usam múltiplos estágios para consumir o combustível. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade final desse foguete após consumir o combustível em dois estágios e comparar essa velocidade com um foguete que não usa estágios múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação do foguete de Tsiolkovsky, que nos ajuda a relacionar a massa inicial e final do foguete com a velocidade de exaustão dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação do foguete de Tsiolkovsky, que é:
Aqui, é a variação de velocidade do foguete, é a velocidade de exaustão dos gases, é a massa inicial do foguete e é a massa final após o consumo do combustível.

Passo 3

No nosso caso, temos dois estágios de consumo de combustível. Vamos calcular a variação de velocidade para cada estágio separadamente e depois somar as duas variações para obter a velocidade final total.
Primeiro Estágio:
  • Massa inicial:
  • Combustível consumido:
  • Massa do tanque descartado:
  • Massa após o primeiro estágio:
Aplicando a equação do Tsiolkovsky para o primeiro estágio:

Passo 4

Segundo Estágio:
  • Massa inicial para o segundo estágio:
  • Combustível consumido:
  • Massa após o segundo estágio:
Aplicando novamente a equação do Tsiolkovsky para o segundo estágio:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas variações de velocidade para obter a velocidade final total do foguete:
Podemos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos:

Passo 6

Simplificando ainda mais:

Resposta

A velocidade final do foguete, após consumir o combustível em dois estágios conforme descrito, é aproximadamente .

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