Considere um corpo girando com velocidade angular
em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo
e use coordenadas polares cilíndricas
,
para especificar as posições das partículas
que formam o corpo. Mostre que a velocidade da partícula
é
na direção
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo que está girando com uma velocidade angular
em torno de um eixo fixo, tipo uma porta girando nas dobradiças. A gente vai usar coordenadas polares cilíndricas, que são
,
e
, para descrever a posição das partículas que formam o corpo. Nosso objetivo é mostrar que a velocidade de cada partícula
é
na direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas polares cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas:
-
: a distância do ponto até o eixo de rotação (no caso, o eixo ). -
: o ângulo em torno do eixo . -
: a altura do ponto ao longo do eixo .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre velocidade em coordenadas cilíndricas. A velocidade de uma partícula nesse sistema é dada por:
Aqui:
-
é a taxa de variação da distância radial. -
é a taxa de variação do ângulo. -
é a taxa de variação da altura.
Passo 4
Como o corpo está girando com velocidade angular constante
ao redor do eixo
, isso significa que:
-
(a taxa de variação do ângulo é constante). -
(a distância radial não muda porque o corpo não está se afastando ou aproximando do eixo). -
(a altura não muda porque o eixo está fixo).
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da velocidade, temos:
Isso mostra que a velocidade da partícula
é
na direção
.
Resposta
A velocidade da partícula
é dada por
na direção
.