Considere um corpo girando com velocidade angular em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo e use coordenadas polares cilíndricas , para especificar as posições das partículas que formam o corpo. Mostre que a velocidade da partícula é na direção .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo que está girando com uma velocidade angular em torno de um eixo fixo, tipo uma porta girando nas dobradiças. A gente vai usar coordenadas polares cilíndricas, que são , e , para descrever a posição das partículas que formam o corpo. Nosso objetivo é mostrar que a velocidade de cada partícula é na direção .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas polares cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas:
  • : a distância do ponto até o eixo de rotação (no caso, o eixo ).
  • : o ângulo em torno do eixo .
  • : a altura do ponto ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre velocidade em coordenadas cilíndricas. A velocidade de uma partícula nesse sistema é dada por:
Aqui:
  • é a taxa de variação da distância radial.
  • é a taxa de variação do ângulo.
  • é a taxa de variação da altura.

Passo 4

Como o corpo está girando com velocidade angular constante ao redor do eixo , isso significa que:
  • (a taxa de variação do ângulo é constante).
  • (a distância radial não muda porque o corpo não está se afastando ou aproximando do eixo).
  • (a altura não muda porque o eixo está fixo).

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da velocidade, temos:
Isso mostra que a velocidade da partícula é na direção .

Resposta

A velocidade da partícula é dada por na direção .

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