As massas da Terra e da Lua são
e
ambas em kg) e a distância entre seus centros de massa é
. Determine a posição do CM e comente. (O raio da Terra é
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a posição do Centro de Massa (CM) entre a Terra e a Lua. Pra isso, vamos usar conceitos de física relacionados a massa e distância. Precisaremos dos valores das massas da Terra e da Lua, além da distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os dados que o exercício nos deu:
- Massa da Terra:
kg - Massa da Lua:
kg - Distância entre os centros de massa:
km
Passo 3
O Centro de Massa (CM) é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. Para dois corpos, a posição do CM em relação à Terra pode ser encontrada pela fórmula:
Onde
é a distância do CM até o centro da Terra.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, distribuímos a massa da Lua:
Passo 5
Agora, vamos juntar os termos que contêm
de um lado:
Fatorando
:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Vamos substituir os valores numéricos. Mas primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Vamos converter a distância de km para metros:
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Vamos simplificar o denominador:
Passo 10
Agora, fazendo a divisão:
Passo 11
Convertendo de metros para quilômetros:
Passo 12
Então, o Centro de Massa está a aproximadamente 4.630 km do centro da Terra.
Resposta
O Centro de Massa entre a Terra e a Lua está localizado a cerca de 4.630 km do centro da Terra. Considerando que o raio da Terra é de aproximadamente 6.400 km, isso significa que o CM está dentro da Terra, bem próximo da sua superfície.