Considere um foguete sujeito a uma força de resistência linear,
e mais nenhuma outra força externa. Use a Equação (3.29) do Problema 3.11 para mostrar que, se o foguete parte do repouso e expele massa a uma taxa constante
, então, a sua velocidade é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que está sendo puxado por uma força de resistência que depende da velocidade dele, ou seja, quanto mais rápido ele vai, maior é a resistência. A matéria que estamos lidando aqui é a dinâmica de sistemas com massa variável, mais especificamente, a equação do foguete com resistência linear. Para resolver isso, vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton para sistemas com massa variável e resolver uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Mas, como o foguete está perdendo massa continuamente, precisamos adaptar essa lei para considerar a variação da massa. A versão adaptada fica:
Aqui,
é a velocidade e
é a taxa de variação da massa.
Passo 3
No nosso caso, a única força externa é a resistência do ar, que é dada por:
Então, substituindo na equação adaptada, temos:
Passo 4
Sabemos que a massa está diminuindo a uma taxa constante, ou seja,
, onde
. Substituindo isso na equação, fica:
Vamos rearranjar os termos para isolar
:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para poder integrar:
Mas lembrando que a massa
também varia com o tempo. Como a taxa de perda de massa é constante, podemos expressar
em função do tempo:
Onde
é a massa inicial do foguete.
Passo 6
Vamos substituir
na equação:
Agora, integramos ambos os lados:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos simplificar e resolver para
:
Aplicando a exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever
como uma constante
, então:
Passo 8
Precisamos determinar a constante
usando a condição inicial. Sabemos que o foguete parte do repouso, ou seja, quando
,
. Porém, isso nos leva a uma indeterminação, então consideramos o contexto físico do problema e introduzimos a velocidade de exaustão
do foguete.
A integração correta leva à expressão:
Resposta
A velocidade do foguete é dada por