Considere um foguete sujeito a uma força de resistência linear, e mais nenhuma outra força externa. Use a Equação (3.29) do Problema 3.11 para mostrar que, se o foguete parte do repouso e expele massa a uma taxa constante , então, a sua velocidade é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que está sendo puxado por uma força de resistência que depende da velocidade dele, ou seja, quanto mais rápido ele vai, maior é a resistência. A matéria que estamos lidando aqui é a dinâmica de sistemas com massa variável, mais especificamente, a equação do foguete com resistência linear. Para resolver isso, vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton para sistemas com massa variável e resolver uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Mas, como o foguete está perdendo massa continuamente, precisamos adaptar essa lei para considerar a variação da massa. A versão adaptada fica:
Aqui, é a velocidade e é a taxa de variação da massa.

Passo 3

No nosso caso, a única força externa é a resistência do ar, que é dada por:
Então, substituindo na equação adaptada, temos:

Passo 4

Sabemos que a massa está diminuindo a uma taxa constante, ou seja, , onde . Substituindo isso na equação, fica:
Vamos rearranjar os termos para isolar :

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para poder integrar:
Mas lembrando que a massa também varia com o tempo. Como a taxa de perda de massa é constante, podemos expressar em função do tempo:
Onde é a massa inicial do foguete.

Passo 6

Vamos substituir na equação:
Agora, integramos ambos os lados:
Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar e resolver para :
Aplicando a exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever como uma constante , então:

Passo 8

Precisamos determinar a constante usando a condição inicial. Sabemos que o foguete parte do repouso, ou seja, quando , . Porém, isso nos leva a uma indeterminação, então consideramos o contexto físico do problema e introduzimos a velocidade de exaustão do foguete.
A integração correta leva à expressão:

Resposta

A velocidade do foguete é dada por

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