*11. Quando uma luz com um comprimento de onda de 221 nm incide sobre certa superfície metálica, elétrons são ejetados com uma energia cinética máxima de 3,28 \times 10^{-19} \mathrm{~J}. Determine o comprimento de onda (em nm) da luz que deveria ser usada para dobrar a energia cinética máxima dos elétrons ejetados dessa superfície.

Passo 1

O enunciado nos dá que uma luz de comprimento de onda \lambda_1=221\,\mathrm{nm} incide sobre uma superfície metálica e ejeta elétrons com energia cinética máxima K_1=3{,}28\times10^{-19}\,\mathrm{J}. Pede-se encontrar o comprimento de onda \lambda_2 que faz com que a energia cinética máxima seja K_2=2K_1. O conteúdo que vamos usar é o efeito fotoelétrico de Einstein.

Passo 2

Escrevemos a equação de Einstein para o efeito fotoelétrico:
K_{\max} = h\nu - \varphi
que, em função do comprimento de onda, fica
K_{\max} = \frac{h\,c}{\lambda} - \varphi
Para o caso inicial \lambda_1, K_1, isso implica
\varphi = \frac{h\,c}{\lambda_1} - K_1

Passo 3

Queremos dobrar a energia cinética, isto é, K_2=2K_1. Para \lambda_2 a equação é
K_2 = \frac{h\,c}{\lambda_2} - \varphi
Substituindo \varphi do passo anterior, obtemos
2K_1 = \frac{h\,c}{\lambda_2} - \biggl(\frac{h\,c}{\lambda_1} - K_1\biggr)

Passo 4

Reorganizando a equação:
2K_1 = \frac{h\,c}{\lambda_2} - \frac{h\,c}{\lambda_1} + K_1
\frac{h\,c}{\lambda_2} - \frac{h\,c}{\lambda_1} = K_1
Dividindo tudo por h\,c e isolando 1/\lambda_2, vem
\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{K_1}{h\,c}
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\lambda_2 = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{\lambda_1} + \frac{K_1}{h\,c}}

Passo 5

Agora inserimos valores numéricos: \lambda_1 = 221\times10^{-9}\,\mathrm{m}, K_1 = 3{,}28\times10^{-19}\,\mathrm{J}, h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, c=3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s},
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h\,c \approx 6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^8 = 1{,}986\times10^{-25}\,\mathrm{J\,m}
Calculamos
\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{221\times10^{-9}} + \frac{3{,}28\times10^{-19}}{1{,}986\times10^{-25}} \approx 4{,}525\times10^6 + 1{,}651\times10^6 = 6{,}176\times10^6\,\mathrm{m^{-1}}
Assim
\lambda_2 \approx \frac{1}{6{,}176\times10^6} = 1{,}62\times10^{-7}\,\mathrm{m} = 162\,\mathrm{nm}

Resposta

\lambda \approx 162\,\mathrm{nm}.

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