Um malabarista está jogando malabares com uma chama em uma das extremidades. Ele segura o malabar pela extremidade sem chama e arremessa-o para cima de modo que, no momento da liberação, ele está horizontal, e seu CM move-se verticalmente para cima com uma velocidade e ele está girando com velocidade angular . Para agarrá-lo, o malabarista deseja uma configuração de modo que, ao retornar para sua mão, o malabar tenha realizado um número inteiro de rotações completas. Qual deve ser , se o malabar tiver que realizar rotações ao retornar à sua mão?

Passo 1

Vamos entender o problema primeiro! Um malabarista está jogando um malabar para o alto. No momento que ele solta o malabar, ele está horizontal, o centro de massa (CM) está subindo com uma velocidade e o malabar está girando com uma velocidade angular . Ele quer que, quando o malabar volte para a mão dele, ele tenha completado exatamente rotações completas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento vertical (cinemática) e de rotação (cinemática rotacional).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que o malabar leva para subir e descer de volta à mão do malabarista. Como o movimento é vertical para cima e para baixo sob a ação da gravidade, podemos usar a seguinte fórmula do tempo total de voo ( ):
Aqui, é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Agora, queremos que o malabar complete exatamente rotações durante esse tempo . A quantidade de rotações é relacionada à velocidade angular e ao tempo pela fórmula:
Queremos que seja igual a (já que uma rotação completa é radianos):

Passo 4

Substituímos da Passo 2 na equação acima:
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Isolando :

Resposta

A velocidade inicial deve ser:

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