Uma manivela gira a
no instante
. Depois disso, sua aceleração angular é dada por
onde
é dada em rad/s
e
em segundos. (b) Por qual ângulo ela gira entre
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma manivela que gira com uma velocidade angular inicial de
no instante
. Depois disso, a aceleração angular dela é dada pela equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir por quanto ângulo ela gira entre
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente integrando a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrando a velocidade para encontrar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade angular
. Sabemos que a aceleração angular
é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Então, para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar a aceleração angular:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. No instante
, a velocidade angular é
:
Então,
.
Passo 5
Agora, temos a expressão para a velocidade angular:
Passo 6
O próximo passo é encontrar a expressão para o ângulo girado
. Sabemos que a velocidade angular é a derivada do ângulo em relação ao tempo:
Então, para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo.
Passo 7
Vamos integrar a velocidade angular:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. No instante
, o ângulo girado é
:
Então,
.
Passo 9
Agora, temos a expressão para o ângulo girado:
Passo 10
Para encontrar o ângulo girado entre
e
, basta substituir
na expressão de
:
Passo 11
Calculando cada termo:
Passo 12
Somando os termos:
Resposta
A manivela gira um ângulo de
entre
e
.