Uma manivela gira a no instante . Depois disso, sua aceleração angular é dada por
onde é dada em rad/s e em segundos. (b) Por qual ângulo ela gira entre ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma manivela que gira com uma velocidade angular inicial de no instante . Depois disso, a aceleração angular dela é dada pela equação . Nosso objetivo aqui é descobrir por quanto ângulo ela gira entre e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente integrando a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrando a velocidade para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade angular . Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Então, para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a aceleração angular:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial. No instante , a velocidade angular é :
Então, .

Passo 5

Agora, temos a expressão para a velocidade angular:

Passo 6

O próximo passo é encontrar a expressão para o ângulo girado . Sabemos que a velocidade angular é a derivada do ângulo em relação ao tempo:
Então, para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo.

Passo 7

Vamos integrar a velocidade angular:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial. No instante , o ângulo girado é :
Então, .

Passo 9

Agora, temos a expressão para o ângulo girado:

Passo 10

Para encontrar o ângulo girado entre e , basta substituir na expressão de :

Passo 11

Calculando cada termo:

Passo 12

Somando os termos:

Resposta

A manivela gira um ângulo de entre e .

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