Uma massa confinada ao eixo tem energia potencial , com . Esboce o gráfico dessa energia potencial e descreva qualitativamente o movimento se a massa estiver inicialmente parada em e se, no instante , for dado a ela um impulso para a direita.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa que se move ao longo do eixo e está sujeita a uma energia potencial dada por , onde é uma constante positiva. Precisamos esboçar o gráfico dessa energia potencial e descrever como a massa se comporta se ela começar parada na posição e, no instante , receber um impulso para a direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e movimento harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da energia potencial . Essa função relaciona a posição da massa com a energia potencial armazenada. O expoente 4 indica que a energia aumenta rapidamente conforme nos afastamos da posição .

Passo 3

Para esboçar o gráfico de , observamos que:
  • Quando , . Então, o gráfico passa pela origem.
  • Para valores positivos e negativos de , sempre será positivo porque é sempre positivo.
  • À medida que aumenta, cresce muito rapidamente devido ao expoente elevado.
Portanto, o gráfico será simétrico em relação ao eixo e terá um formato de “U” bem acentuado.

Passo 4

Agora, vamos descrever o movimento da massa. Inicialmente, a massa está parada em , onde a energia potencial é mínima. Quando damos um impulso para a direita, estamos fornecendo energia cinética para a massa, fazendo com que ela comece a se mover na direção positiva do eixo .

Passo 5

À medida que a massa se desloca para a direita, a energia potencial aumenta, criando uma força de restauração que tenta trazer a massa de volta para . No entanto, como a dependência da energia potencial é de quarto grau, a força de restauração não é linear, o que significa que o movimento não será um simples movimento harmônico como no caso de .

Passo 6

Devido à natureza da energia potencial , a massa oscilará em torno da posição , mas com um comportamento não periódico e mais complexo. A amplitude das oscilações pode variar e o movimento será mais “suave” comparado a potenciais de ordem superior.

Resposta

O gráfico da energia potencial é simétrico em relação ao eixo , com um mínimo na origem e aumentando rapidamente conforme cresce. Se a massa começa parada em e recebe um impulso para a direita no instante , ela se moverá para a direita, sendo puxada de volta pela força de restauração. Esse movimento resultará em oscilações em torno de , mas de forma não linear devido à dependência da energia potencial em .

Exercícios de Livros Relacionados