Uma massa, pendurada em uma das extremidades de um cordão, está oscilando com frequência angular
. Em
, sua posição é
e damos a ela um impulso de modo que ela se move de volta na direção da origem e executa um movimento harmônico simples com amplitude
. Determine sua posição como uma função do tempo de acordo com a fórmula (III) do Problema 5.5.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma massa pendurada em um cordão que está oscilando com uma frequência angular
. No instante inicial,
, a posição da massa é
. Damos um impulso que faz com que a massa comece a se mover de volta em direção à origem, agora executando um movimento harmônico simples com amplitude
. Nosso objetivo é determinar a posição da massa em função do tempo, usando a fórmula (III) do Problema 5.5.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de movimento harmônico simples (MHS), amplitude, frequência angular e como esses elementos se relacionam na equação da posição.
Passo 2
Vamos relembrar que no movimento harmônico simples, a posição da massa em função do tempo pode ser descrita por uma função trigonométrica, geralmente um seno ou cosseno. A forma geral da equação é:
onde:
-
é a amplitude do movimento, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
No nosso caso, após o impulso, a amplitude do movimento passa a ser
. Portanto,
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a fase inicial
. Sabemos que no instante
, a posição é
. Substituindo esses valores na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos indica que
radianos.
Passo 4
Agora que temos todos os valores necessários, podemos escrever a equação da posição em função do tempo:
Essa é a função que descreve a posição da massa ao longo do tempo após o impulso inicial.
Resposta
A posição da massa em função do tempo é dada por: