Uma massa, pendurada em uma das extremidades de um cordão, está oscilando com frequência angular . Em , sua posição é e damos a ela um impulso de modo que ela se move de volta na direção da origem e executa um movimento harmônico simples com amplitude . Determine sua posição como uma função do tempo de acordo com a fórmula (III) do Problema 5.5.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma massa pendurada em um cordão que está oscilando com uma frequência angular . No instante inicial, , a posição da massa é . Damos um impulso que faz com que a massa comece a se mover de volta em direção à origem, agora executando um movimento harmônico simples com amplitude . Nosso objetivo é determinar a posição da massa em função do tempo, usando a fórmula (III) do Problema 5.5.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de movimento harmônico simples (MHS), amplitude, frequência angular e como esses elementos se relacionam na equação da posição.

Passo 2

Vamos relembrar que no movimento harmônico simples, a posição da massa em função do tempo pode ser descrita por uma função trigonométrica, geralmente um seno ou cosseno. A forma geral da equação é:
onde:
  • é a amplitude do movimento,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
No nosso caso, após o impulso, a amplitude do movimento passa a ser . Portanto, .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a fase inicial . Sabemos que no instante , a posição é . Substituindo esses valores na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos indica que radianos.

Passo 4

Agora que temos todos os valores necessários, podemos escrever a equação da posição em função do tempo:
Essa é a função que descreve a posição da massa ao longo do tempo após o impulso inicial.

Resposta

A posição da massa em função do tempo é dada por:

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