Se a posição e velocidade iniciais forem e , quais são os valores das constantes e na expressão ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a posição de um objeto ao longo do tempo: . Os dados que recebemos são a posição inicial e a velocidade inicial . Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes e . Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolvem funções trigonométricas para descrever posições e velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição inicial da posição: quando , . Substituindo na equação:
Sabemos que , então:
Como representa a amplitude e não pode ser zero (caso contrário, não haveria movimento), concluímos que:
Isso acontece quando ou . Vamos considerar para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição da velocidade inicial. Para isso, precisamos derivar a função posição para obter a velocidade:
Usando e :
Como , fica:
Sabemos que , então . Assim:

Passo 4

Para encontrar , precisamos saber o valor de . No entanto, a questão não forneceu , então assumimos que é uma constante conhecida do sistema. Se for dado, basta rearranjar a equação:

Resposta

As constantes são e .

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