À medida que o amortecimento vai crescendo em um oscilador, chega a um ponto em que o nome “oscilador” se torna pouco apropriado. (a) Para ilustramos isso, mostre que um oscilador criticamente amortecido nunca pode passar mais de uma vez pela origem .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre amortecimento em osciladores. Nosso objetivo aqui é mostrar que quando o amortecimento é criticamente amortecido, o oscilador nunca passa pela origem mais de uma vez. Vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais que descrevem o movimento de um oscilador com amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve um oscilador amortecido:
Onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante elástica,
  • é a posição em função do tempo .

Passo 3

Para simplificar, dividimos toda a equação por :
Onde:
  • é a taxa de amortecimento,
  • é a frequência natural do sistema.

Passo 4

O tipo de amortecimento depende do valor de comparado com :
  • Subamortecido:
  • Criticamente amortecido:
  • Superamortecido:
No nosso caso, estamos focando no criticamente amortecido ( ).

Passo 5

A solução geral da equação para o caso criticamente amortecido é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Queremos saber quando . Então, igualamos a solução a zero:
Como nunca é zero para nenhum valor finito de , a equação reduz para:

Passo 7

Resolvendo para :
Isso nos mostra que existe apenas um valor de que satisfaz , ou seja, o oscilador passa pela origem apenas uma vez.

Resposta

Assim, mostramos que um oscilador criticamente amortecido nunca passa mais de uma vez pela origem .

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