À medida que o amortecimento vai crescendo em um oscilador, chega a um ponto em que o nome “oscilador” se torna pouco apropriado. (a) Para ilustramos isso, mostre que um oscilador criticamente amortecido nunca pode passar mais de uma vez pela origem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre amortecimento em osciladores. Nosso objetivo aqui é mostrar que quando o amortecimento é criticamente amortecido, o oscilador nunca passa pela origem
mais de uma vez. Vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais que descrevem o movimento de um oscilador com amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve um oscilador amortecido:
Onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante elástica, -
é a posição em função do tempo .
Passo 3
Para simplificar, dividimos toda a equação por
:
Onde:
-
é a taxa de amortecimento, -
é a frequência natural do sistema.
Passo 4
O tipo de amortecimento depende do valor de
comparado com
:
- Subamortecido:
- Criticamente amortecido:
- Superamortecido:
No nosso caso, estamos focando no criticamente amortecido (
).
Passo 5
A solução geral da equação para o caso criticamente amortecido é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Queremos saber quando
. Então, igualamos a solução a zero:
Como
nunca é zero para nenhum valor finito de
, a equação reduz para:
Passo 7
Resolvendo para
:
Isso nos mostra que existe apenas um valor de
que satisfaz
, ou seja, o oscilador passa pela origem apenas uma vez.
Resposta
Assim, mostramos que um oscilador criticamente amortecido nunca passa mais de uma vez pela origem
.