A solução geral para um oscilador bidimensional isotrópico é dada por (5.19). Mostre que, modificando a origem do tempo, você pode transformá-la na forma mais simples (5.20) com
. [Sugestão: uma mudança de origem do tempo é uma mudança de variável de
para
. Faça essa mudança e escolha a constante
apropriadamente, depois renomeie
por
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pegar a solução geral de um oscilador bidimensional isotrópico e mostrar que, mudando a origem do tempo, conseguimos deixar essa solução numa forma mais simples. Basicamente, vamos trabalhar com oscilações em duas direções (x e y) que são iguais (por isso isotrópico). Para resolver isso, vamos precisar entender como as soluções de oscilações funcionam e como uma mudança de variável no tempo pode simplificar a expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a solução geral para um oscilador bidimensional isotrópico. Ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui,
e
são as amplitudes das oscilações nas direções x e y,
é a frequência angular, e
e
são as constantes de fase.
Passo 3
O exercício sugere que façamos uma mudança na origem do tempo, ou seja, trocar
por
, onde
é uma constante que vamos escolher para simplificar a solução. Vamos substituir
por
nas equações de
e
:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é escolher
de forma que a diferença de fase
seja destacada na solução. Para isso, vamos ajustar
de modo que uma das constantes de fase, digamos
, seja eliminada ou simplificada.
Vamos escolher
tal que:
Isso faz com que:
Portanto, a equação de
fica:
E a equação de
fica:
Onde
.
Passo 5
Finalmente, para simplificar a notação, podemos renomear
de volta para
, já que é só uma variável de tempo. Assim, nossas equações ficam:
Agora, nossa solução está na forma mais simples, onde a diferença de fase
está claramente expressa.
Resposta
Ao mudar a origem do tempo, a solução geral do oscilador bidimensional isotrópico fica:
onde
.