A solução geral para um oscilador bidimensional isotrópico é dada por (5.19). Mostre que, modificando a origem do tempo, você pode transformá-la na forma mais simples (5.20) com . [Sugestão: uma mudança de origem do tempo é uma mudança de variável de para . Faça essa mudança e escolha a constante apropriadamente, depois renomeie por .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pegar a solução geral de um oscilador bidimensional isotrópico e mostrar que, mudando a origem do tempo, conseguimos deixar essa solução numa forma mais simples. Basicamente, vamos trabalhar com oscilações em duas direções (x e y) que são iguais (por isso isotrópico). Para resolver isso, vamos precisar entender como as soluções de oscilações funcionam e como uma mudança de variável no tempo pode simplificar a expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a solução geral para um oscilador bidimensional isotrópico. Ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, e são as amplitudes das oscilações nas direções x e y, é a frequência angular, e e são as constantes de fase.

Passo 3

O exercício sugere que façamos uma mudança na origem do tempo, ou seja, trocar por , onde é uma constante que vamos escolher para simplificar a solução. Vamos substituir por nas equações de e :

Passo 4

Agora, nosso objetivo é escolher de forma que a diferença de fase seja destacada na solução. Para isso, vamos ajustar de modo que uma das constantes de fase, digamos , seja eliminada ou simplificada.
Vamos escolher tal que:
Isso faz com que:
Portanto, a equação de fica:
E a equação de fica:
Onde .

Passo 5

Finalmente, para simplificar a notação, podemos renomear de volta para , já que é só uma variável de tempo. Assim, nossas equações ficam:
Agora, nossa solução está na forma mais simples, onde a diferença de fase está claramente expressa.

Resposta

Ao mudar a origem do tempo, a solução geral do oscilador bidimensional isotrópico fica:
onde .

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