Para , use a aproximação (4.35) para estimar a variação em ao mover do ponto a . Compare com o resultado exato.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos saber quanto ela muda quando a gente se move do ponto para . Vamos usar uma aproximação que provavelmente envolve o gradiente da função para estimar essa variação, e depois vamos comparar com o resultado exato.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o gradiente. O gradiente de uma função , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Ele aponta na direção de maior aumento da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de :
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Agora, vamos determinar a variação em , que é:

Passo 6

A aproximação para a variação em é dada por:
Calculando o produto escalar:

Passo 7

Agora, vamos calcular o resultado exato. Primeiro, avaliaremos nos dois pontos.
Para :
Para :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então, a variação exata é:

Resposta

A variação estimada usando a aproximação é e a variação exata é . As duas estão praticamente iguais!

Exercícios de Livros Relacionados