Para
, use a aproximação (4.35) para estimar a variação em
ao mover do ponto
a
. Compare com o resultado exato.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos saber quanto ela muda quando a gente se move do ponto
para
. Vamos usar uma aproximação que provavelmente envolve o gradiente da função para estimar essa variação, e depois vamos comparar com o resultado exato.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
. Ele aponta na direção de maior aumento da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos determinar a variação em
, que é:
Passo 6
A aproximação para a variação em
é dada por:
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Agora, vamos calcular o resultado exato. Primeiro, avaliaremos
nos dois pontos.
Para
:
Para
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então, a variação exata é:
Resposta
A variação estimada usando a aproximação é
e a variação exata é
. As duas estão praticamente iguais!