Quais das seguintes forças são conservativas? (b)
. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial
correspondente e verifique por derivação direta que
.
Passo 1
Então, a gente tem uma força definida por
e precisa descobrir se ela é conservativa. Se for, também precisamos encontrar a energia potencial
associada a essa força e confirmar que
. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre campos de força conservativos. Vamos precisar calcular o rotacional da força e, se for zero, seguir para encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a força é conservativa calculando o rotacional dela. Se o rotacional for zero, a força é conservativa.
Passo 3
A força é dada por
. O rotacional de
é calculado usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente x:
-
Componente y:
-
Componente z:
Então, o rotacional de
é
, indicando que a força é conservativa.
Passo 4
Agora que sabemos que a força é conservativa, vamos encontrar a energia potencial
tal que
. Isso significa que:
Substituindo os componentes da força:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de integração. Agora, diferenciando
em relação a
:
Isso implica que
, então
não depende de
, ou seja,
. Finalmente, diferenciando em relação a
:
Portanto,
é uma constante, que podemos chamar de
. Assim, a função potencial é:
Passo 5
Por último, vamos verificar se
. Calculando o gradiente de
:
Então,
Isso confirma que a função potencial encontrada está correta.
Resposta
A força
é conservativa e a energia potencial correspondente é
, onde
é uma constante.