Quais das seguintes forças são conservativas? (b) . Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial correspondente e verifique por derivação direta que .

Passo 1

Então, a gente tem uma força definida por e precisa descobrir se ela é conservativa. Se for, também precisamos encontrar a energia potencial associada a essa força e confirmar que . Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente sobre campos de força conservativos. Vamos precisar calcular o rotacional da força e, se for zero, seguir para encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a força é conservativa calculando o rotacional dela. Se o rotacional for zero, a força é conservativa.

Passo 3

A força é dada por . O rotacional de é calculado usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
  • Componente x:
  • Componente y:
  • Componente z:
Então, o rotacional de é , indicando que a força é conservativa.

Passo 4

Agora que sabemos que a força é conservativa, vamos encontrar a energia potencial tal que . Isso significa que:
Substituindo os componentes da força:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Onde é uma função arbitrária de integração. Agora, diferenciando em relação a :
Isso implica que , então não depende de , ou seja, . Finalmente, diferenciando em relação a :
Portanto, é uma constante, que podemos chamar de . Assim, a função potencial é:

Passo 5

Por último, vamos verificar se . Calculando o gradiente de :
Então,
Isso confirma que a função potencial encontrada está correta.

Resposta

A força é conservativa e a energia potencial correspondente é , onde é uma constante.

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