Vimos que o produto escalar para qualquer quadrivetor com ele mesmo é invariante perante transformações de Lorentz. Use a invariância de para mostrar que o produto escalar de quaisquer dois quadrivetores e é também invariante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente sabe que o produto escalar de um quadrivetor consigo mesmo, ou seja, , não muda quando fazemos uma transformação de Lorentz. O desafio agora é mostrar que, se isso é verdade, então o produto escalar de dois quadrivetores diferentes, , também não muda nessas transformações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e propriedades das transformações de Lorentz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar de quadrivetores. Se temos dois quadrivetores e , o produto escalar é definido como:
Essa operação resulta em um número que combina as componentes temporais e espaciais dos vetores.

Passo 3

Agora, sobre as transformações de Lorentz. Elas são mudanças de coordenadas que mantêm o intervalo espaço-temporal inalterado. Isso significa que se aplicarmos uma transformação de Lorentz a um quadrivetor, o produto escalar dele consigo mesmo, , permanece o mesmo:
Onde é o quadrivetor transformado.

Passo 4

Para mostrar que também é invariante, vamos considerar duas transformações de Lorentz separadas aplicadas a e . Ou seja, temos e sendo as versões transformadas de e :
Aqui, representa a matriz da transformação de Lorentz.

Passo 5

Calculamos o produto escalar dos vetores transformados:
Usando a definição do produto escalar, isso se expande para:

Passo 6

Sabemos que as transformações de Lorentz preservam o produto escalar, então:
Portanto, o produto escalar entre e não muda após a transformação.

Resposta

O produto escalar de quaisquer dois quadrivetores e é invariante perante transformações de Lorentz, ou seja, .

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