Vimos que o produto escalar
para qualquer quadrivetor
com ele mesmo é invariante perante transformações de Lorentz. Use a invariância de
para mostrar que o produto escalar
de quaisquer dois quadrivetores
e
é também invariante.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente sabe que o produto escalar de um quadrivetor consigo mesmo, ou seja,
, não muda quando fazemos uma transformação de Lorentz. O desafio agora é mostrar que, se isso é verdade, então o produto escalar de dois quadrivetores diferentes,
, também não muda nessas transformações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e propriedades das transformações de Lorentz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar de quadrivetores. Se temos dois quadrivetores
e
, o produto escalar é definido como:
Essa operação resulta em um número que combina as componentes temporais e espaciais dos vetores.
Passo 3
Agora, sobre as transformações de Lorentz. Elas são mudanças de coordenadas que mantêm o intervalo espaço-temporal inalterado. Isso significa que se aplicarmos uma transformação de Lorentz a um quadrivetor, o produto escalar dele consigo mesmo,
, permanece o mesmo:
Onde
é o quadrivetor transformado.
Passo 4
Para mostrar que
também é invariante, vamos considerar duas transformações de Lorentz separadas aplicadas a
e
. Ou seja, temos
e
sendo as versões transformadas de
e
:
Aqui,
representa a matriz da transformação de Lorentz.
Passo 5
Calculamos o produto escalar dos vetores transformados:
Usando a definição do produto escalar, isso se expande para:
Passo 6
Sabemos que as transformações de Lorentz preservam o produto escalar, então:
Portanto, o produto escalar entre
e
não muda após a transformação.
Resposta
O produto escalar
de quaisquer dois quadrivetores
e
é invariante perante transformações de Lorentz, ou seja,
.