Uma mola de massa desprezível está presa verticalmente no teto e sem carga. Uma massa é colocada na parte inferior da mola e, em seguida, é largada. Quão próxima da sua posição final de repouso a massa estará após o intervalo de 1 s , dado que ela alcança o repouso a
abaixo do ponto em que foi largada e que o movimento é criticamente amortecido?
Passo 1
Então, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma mola sem massa presa no teto, e uma massa é colocada na parte de baixo da mola. Quando soltamos a massa, ela se move até alcançar o ponto de equilíbrio, que está a 0,5 metros abaixo do ponto de onde foi largada. O movimento é criticamente amortecido, ou seja, a massa retorna ao equilíbrio sem oscilar. Queremos descobrir quão próxima da posição final de repouso a massa estará após 1 segundo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento amortecido, especificamente o amortecimento crítico. Também vamos precisar entender as equações que descrevem esse tipo de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no caso de amortecimento crítico, a posição da massa em função do tempo pode ser descrita pela equação:
Onde:
-
é a posição da massa em função do tempo. -
e são constantes que determinamos com as condições iniciais. -
é a frequência natural do sistema.
Passo 3
Sabemos que, no equilíbrio, a força da mola é igual ao peso da massa. Podemos usar a Lei de Hooke para encontrar a constante elástica
:
Aqui,
é a massa,
é a aceleração da gravidade (
), e
é a deformação da mola, que é 0,5 m.
Passo 4
Para o amortecimento crítico, a relação entre a constante de amortecimento
, a massa
e a constante elástica
é dada por:
Essa condição garante que o sistema retornará ao equilíbrio sem oscilar.
Passo 5
Agora, usamos a equação da posição no amortecimento crítico:
Precisamos determinar
e
usando as condições iniciais. No tempo
, a massa está na posição inicial
e tem velocidade
.
Passo 6
Aplicando as condições iniciais:
Para
:
A velocidade é a derivada da posição:
Para
:
Isso sugere que precisamos ajustar nossa abordagem, já que as condições iniciais levam a
e
, o que não faz sentido fisicamente. Na verdade, a posição inicial não é exatamente no equilíbrio, mas sim no ponto de largada, que está a 0,5 m acima do equilíbrio.
Passo 7
Vamos corrigir as condições iniciais. A posição inicial é
(a massa está 0,5 m acima do equilíbrio) e a velocidade inicial
.
Aplicando essas condições na equação da posição:
Para
:
E para a velocidade:
Então:
Passo 8
Agora, nossa equação para a posição fica:
Queremos encontrar
, ou seja, a posição da massa após 1 segundo:
Passo 9
Para continuar, precisamos determinar
. Sabemos que:
E já tínhamos:
Substituindo
na expressão de
:
Usando
:
Passo 10
Agora, substituímos
na equação de
:
Calculando os valores:
Sabemos que
(usando calculadora).
Então:
Resposta
Após 1 segundo, a massa estará aproximadamente a 0,033 metros da posição final de repouso.