Uma mola de massa desprezível está presa verticalmente no teto e sem carga. Uma massa é colocada na parte inferior da mola e, em seguida, é largada. Quão próxima da sua posição final de repouso a massa estará após o intervalo de 1 s , dado que ela alcança o repouso a abaixo do ponto em que foi largada e que o movimento é criticamente amortecido?

Passo 1

Então, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma mola sem massa presa no teto, e uma massa é colocada na parte de baixo da mola. Quando soltamos a massa, ela se move até alcançar o ponto de equilíbrio, que está a 0,5 metros abaixo do ponto de onde foi largada. O movimento é criticamente amortecido, ou seja, a massa retorna ao equilíbrio sem oscilar. Queremos descobrir quão próxima da posição final de repouso a massa estará após 1 segundo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento amortecido, especificamente o amortecimento crítico. Também vamos precisar entender as equações que descrevem esse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no caso de amortecimento crítico, a posição da massa em função do tempo pode ser descrita pela equação:
Onde:
  • é a posição da massa em função do tempo.
  • e são constantes que determinamos com as condições iniciais.
  • é a frequência natural do sistema.

Passo 3

Sabemos que, no equilíbrio, a força da mola é igual ao peso da massa. Podemos usar a Lei de Hooke para encontrar a constante elástica :
Aqui, é a massa, é a aceleração da gravidade ( ), e é a deformação da mola, que é 0,5 m.

Passo 4

Para o amortecimento crítico, a relação entre a constante de amortecimento , a massa e a constante elástica é dada por:
Essa condição garante que o sistema retornará ao equilíbrio sem oscilar.

Passo 5

Agora, usamos a equação da posição no amortecimento crítico:
Precisamos determinar e usando as condições iniciais. No tempo , a massa está na posição inicial e tem velocidade .

Passo 6

Aplicando as condições iniciais:
Para :
A velocidade é a derivada da posição:
Para :
Isso sugere que precisamos ajustar nossa abordagem, já que as condições iniciais levam a e , o que não faz sentido fisicamente. Na verdade, a posição inicial não é exatamente no equilíbrio, mas sim no ponto de largada, que está a 0,5 m acima do equilíbrio.

Passo 7

Vamos corrigir as condições iniciais. A posição inicial é (a massa está 0,5 m acima do equilíbrio) e a velocidade inicial .
Aplicando essas condições na equação da posição:
Para :
E para a velocidade:
Então:

Passo 8

Agora, nossa equação para a posição fica:
Queremos encontrar , ou seja, a posição da massa após 1 segundo:

Passo 9

Para continuar, precisamos determinar . Sabemos que:
E já tínhamos:
Substituindo na expressão de :
Usando :

Passo 10

Agora, substituímos na equação de :
Calculando os valores:
Sabemos que (usando calculadora).
Então:

Resposta

Após 1 segundo, a massa estará aproximadamente a 0,033 metros da posição final de repouso.

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