Um oscilador não amortecido tem período , mas agora adicionamos um pequeno amortecimento de modo que o seu período modifica para . Qual é o fator de amortecimento ? Por qual fator irá decrescer a amplitude da oscilação após 10 ciclos? Que efeito de amortecimento será mais expressivo, a mudança de período ou o decréscimo na amplitude?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um oscilador que, sem amortecimento, tem um período . Quando adicionamos um pequeno amortecimento, o período passa a ser . Precisamos encontrar o fator de amortecimento , determinar por quanto a amplitude decresce após 10 ciclos e, por fim, comparar qual efeito de amortecimento é mais expressivo: a mudança no período ou o decréscimo na amplitude.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas, especificamente a relação entre o período amortecido e o fator de amortecimento, além da forma como a amplitude decresce ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para um oscilador amortecido, o período está relacionado ao período não amortecido e ao fator de amortecimento pela fórmula:
Onde é a frequência angular não amortecida, dada por:
Como o amortecimento é pequeno, podemos aproximar para . Assim, a relação entre os períodos fica aproximadamente:

Passo 3

Sabemos que a diferença nos períodos é:
Substituindo na aproximação:
Isolando :
Calculando :
Então:
Portanto:
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular por quanto a amplitude decresce após 10 ciclos. A amplitude de um oscilador amortecido decresce exponencialmente com o tempo, dada por:
Para encontrar a redução após 10 ciclos, precisamos primeiro encontrar o tempo total para 10 ciclos. O período amortecido é , então:
Substituindo na equação da amplitude:
Isso significa que a amplitude decresce para aproximadamente 5,99% do valor inicial após 10 ciclos.

Passo 5

Por fim, vamos comparar os efeitos do amortecimento na mudança do período e no decréscimo da amplitude. Observamos que a mudança no período foi de apenas , um aumento de 0,1%. Já a amplitude decresceu para cerca de 6% do valor inicial, uma redução de 94%. Portanto, o efeito de decréscimo na amplitude é muito mais expressivo do que a mudança no período.

Resposta

O fator de amortecimento é aproximadamente . Após 10 ciclos, a amplitude da oscilação decresce para cerca de do valor inicial. O efeito de decréscimo na amplitude é muito mais expressivo do que a mudança no período.

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