Um oscilador não amortecido tem período
, mas agora adicionamos um pequeno amortecimento de modo que o seu período modifica para
. Qual é o fator de amortecimento
? Por qual fator irá decrescer a amplitude da oscilação após 10 ciclos? Que efeito de amortecimento será mais expressivo, a mudança de período ou o decréscimo na amplitude?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um oscilador que, sem amortecimento, tem um período
. Quando adicionamos um pequeno amortecimento, o período passa a ser
. Precisamos encontrar o fator de amortecimento
, determinar por quanto a amplitude decresce após 10 ciclos e, por fim, comparar qual efeito de amortecimento é mais expressivo: a mudança no período ou o decréscimo na amplitude.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de oscilações amortecidas, especificamente a relação entre o período amortecido e o fator de amortecimento, além da forma como a amplitude decresce ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para um oscilador amortecido, o período
está relacionado ao período não amortecido
e ao fator de amortecimento
pela fórmula:
Onde
é a frequência angular não amortecida, dada por:
Como o amortecimento é pequeno, podemos aproximar
para
. Assim, a relação entre os períodos fica aproximadamente:
Passo 3
Sabemos que a diferença nos períodos é:
Substituindo na aproximação:
Isolando
:
Calculando
:
Então:
Portanto:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular por quanto a amplitude decresce após 10 ciclos. A amplitude de um oscilador amortecido decresce exponencialmente com o tempo, dada por:
Para encontrar a redução após 10 ciclos, precisamos primeiro encontrar o tempo total
para 10 ciclos. O período amortecido é
, então:
Substituindo na equação da amplitude:
Isso significa que a amplitude decresce para aproximadamente 5,99% do valor inicial após 10 ciclos.
Passo 5
Por fim, vamos comparar os efeitos do amortecimento na mudança do período e no decréscimo da amplitude. Observamos que a mudança no período foi de apenas
, um aumento de 0,1%. Já a amplitude decresceu para cerca de 6% do valor inicial, uma redução de 94%. Portanto, o efeito de decréscimo na amplitude é muito mais expressivo do que a mudança no período.
Resposta
O fator de amortecimento
é aproximadamente
. Após 10 ciclos, a amplitude da oscilação decresce para cerca de
do valor inicial. O efeito de decréscimo na amplitude é muito mais expressivo do que a mudança no período.