O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de spin e posição
Seja o momento angular total. Se você medir , quais valores obterá e quais as probabilidades de cada um?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de spin e posição, representado pela expressão:
O conteúdo principal aqui é o momento angular total ( ), onde é o momento angular orbital e é o momento angular de spin. Queremos saber quais valores podem ser obtidos ao medir e as probabilidades de cada valor.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os componentes do estado fornecido. são as harmônicas esféricas que representam os estados de momento angular orbital ( ) com e ou . e são os estados de spin do elétron, correspondendo a e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o momento angular total é a soma do momento angular orbital e do momento angular de spin . Para um elétron, . Usando a regra de adição de momento angular, os possíveis valores para são:

Passo 4

Dessa forma, os valores possíveis para são:
Substituindo os valores de :
e

Passo 5

Agora, precisamos determinar as probabilidades de cada valor de . Para isso, observamos os coeficientes na combinação linear do estado dado:
Os coeficientes ao quadrado nos dão as probabilidades:

Resposta

Ao medir , os possíveis valores obtidos são com probabilidade e com probabilidade .

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