Uma forma de se estabelecer o sistema de relógios sincronizados em um referencial
, como descrito no início da Seção 15.4 , seria o observador chefe intimar todos os seus auxiliares à origem e sincronizar os seus relógios lá, e então fazê-los viajar muito lentamente para as posições que lhes foram atribuídas. Mostre essa afirmação da seguinte forma: suponha que, para um certo observador, seja atribuída uma posição
a uma distância
da origem. Se ele viajar a uma velocidade constante
, quando ele alcançar
, por quanto o seu relógio irá diferir do relógio do observador chefe em
? Mostre que essa diferença tende a 0 quando
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de relógios sincronizados no referencial
. O observador chefe no ponto de origem
sincroniza os relógios de todos os auxiliares lá e depois envia cada auxiliar para uma posição atribuída, por exemplo, uma posição
a uma distância
de
. O auxiliar viaja a uma velocidade constante
. Queremos descobrir quanto o relógio do auxiliar em
vai diferir do relógio do observador chefe em
quando ele chegar, e mostrar que essa diferença tende a zero quando
se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de Relatividade Especial, especialmente dilatação do tempo.
Passo 2
Quando o auxiliar viaja a uma velocidade constante
, de acordo com a Relatividade Especial, o tempo medido no relógio dele será diferente do tempo medido no relógio do observador em
. Essa diferença é conhecida como dilatação do tempo. A fórmula para dilatação do tempo é:
Onde:
-
é o tempo no relógio do auxiliar. -
é o tempo no relógio do observador chefe. -
é a velocidade do auxiliar. -
é a velocidade da luz.
Passo 3
No nosso caso, queremos saber a diferença entre os dois relógios quando o auxiliar chega em
. O tempo total que o auxiliar leva para viajar de
a
é
, onde
é a distância entre
e
. Esse é o tempo medido no referencial
do observador chefe.
Passo 4
Usando a fórmula da dilatação do tempo, podemos calcular o tempo no relógio do auxiliar:
A diferença entre os dois relógios será:
Passo 5
Agora, precisamos analisar o que acontece com essa diferença quando
tende a 0. Vamos calcular o limite quando
:
Podemos fatorar
:
Agora, usando a expansão em série de Taylor para
quando
é pequeno (
):
Substituindo
:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na diferença de tempos:
Agora, ao tomar o limite quando
:
Resposta
A diferença entre os relógios tende a zero quando
se aproxima de zero.