Uma forma de se estabelecer o sistema de relógios sincronizados em um referencial , como descrito no início da Seção 15.4 , seria o observador chefe intimar todos os seus auxiliares à origem e sincronizar os seus relógios lá, e então fazê-los viajar muito lentamente para as posições que lhes foram atribuídas. Mostre essa afirmação da seguinte forma: suponha que, para um certo observador, seja atribuída uma posição a uma distância da origem. Se ele viajar a uma velocidade constante , quando ele alcançar , por quanto o seu relógio irá diferir do relógio do observador chefe em ? Mostre que essa diferença tende a 0 quando .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de relógios sincronizados no referencial . O observador chefe no ponto de origem sincroniza os relógios de todos os auxiliares lá e depois envia cada auxiliar para uma posição atribuída, por exemplo, uma posição a uma distância de . O auxiliar viaja a uma velocidade constante . Queremos descobrir quanto o relógio do auxiliar em vai diferir do relógio do observador chefe em quando ele chegar, e mostrar que essa diferença tende a zero quando se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de Relatividade Especial, especialmente dilatação do tempo.

Passo 2

Quando o auxiliar viaja a uma velocidade constante , de acordo com a Relatividade Especial, o tempo medido no relógio dele será diferente do tempo medido no relógio do observador em . Essa diferença é conhecida como dilatação do tempo. A fórmula para dilatação do tempo é:
Onde:
  • é o tempo no relógio do auxiliar.
  • é o tempo no relógio do observador chefe.
  • é a velocidade do auxiliar.
  • é a velocidade da luz.

Passo 3

No nosso caso, queremos saber a diferença entre os dois relógios quando o auxiliar chega em . O tempo total que o auxiliar leva para viajar de a é , onde é a distância entre e . Esse é o tempo medido no referencial do observador chefe.

Passo 4

Usando a fórmula da dilatação do tempo, podemos calcular o tempo no relógio do auxiliar:
A diferença entre os dois relógios será:

Passo 5

Agora, precisamos analisar o que acontece com essa diferença quando tende a 0. Vamos calcular o limite quando :
Podemos fatorar :
Agora, usando a expansão em série de Taylor para quando é pequeno ( ):
Substituindo :
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na diferença de tempos:
Agora, ao tomar o limite quando :

Resposta

A diferença entre os relógios tende a zero quando se aproxima de zero.

Exercícios de Livros Relacionados