Mostre que as grandezas e têm dimensões de tempo.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. A questão quer que a gente mostre que as grandezas e têm dimensões de tempo. Estamos lidando com dimensional análise, que é uma ferramenta na física usada para verificar se as equações fazem sentido em termos de unidades. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as dimensões básicas das grandezas envolvidas: Indutância ( ), Resistência ( ) e Capacitância ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das dimensões de cada uma dessas grandezas:
  • Indutância ( ): A dimensão da indutância é , mas para simplificar nossos cálculos, muitas vezes usamos a combinação básica de unidades. Mais diretamente, sabemos que a indutância em termos de tempo fica relacionada pela expressão , onde é Voltagem, é Tempo e é Corrente.
  • Resistência ( ): A resistência tem dimensão .
  • Capacitância ( ): A capacitância tem dimensão .

Passo 3

Agora, vamos analisar a dimensão de :
Multiplicando por :
Parece complicado, mas isso não está nos dando diretamente o tempo. Então, provavelmente precisamos considerar uma abordagem diferente ou rever as definições simplificadas das dimensões.

Passo 4

Vamos considerar as unidades fundamentais para cada grandeza em termos de Tempo (T), Massa (M), Comprimento (L) e Corrente (I):
  • Indutância ( ):
  • Resistência ( ):
  • Capacitância ( ):
Agora, vamos recalcular :
Parece que precisamos simplificar de outra maneira.

Passo 5

Reavaliando, talvez seja melhor considerar as relações conhecidas em circuitos RLC:
Sabemos que o tempo característico em um circuito RLC pode ser dado por ou . Essas expressões devem ter dimensões de tempo. Vamos verificar isso.
Primeiro, vamos analisar :
Ou seja, tem dimensão de tempo.
Agora, vamos analisar :
Então, também tem dimensão de tempo.

Resposta

Mostramos que tanto quanto têm dimensões de tempo.

Exercícios de Livros Relacionados