Mostre que as grandezas
e
têm dimensões de tempo.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. A questão quer que a gente mostre que as grandezas
e
têm dimensões de tempo. Estamos lidando com dimensional análise, que é uma ferramenta na física usada para verificar se as equações fazem sentido em termos de unidades. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as dimensões básicas das grandezas envolvidas: Indutância (
), Resistência (
) e Capacitância (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das dimensões de cada uma dessas grandezas:
-
Indutância (
): A dimensão da indutância é , mas para simplificar nossos cálculos, muitas vezes usamos a combinação básica de unidades. Mais diretamente, sabemos que a indutância em termos de tempo fica relacionada pela expressão , onde é Voltagem, é Tempo e é Corrente. -
Resistência (
): A resistência tem dimensão . -
Capacitância (
): A capacitância tem dimensão .
Passo 3
Agora, vamos analisar a dimensão de
:
Multiplicando
por
:
Parece complicado, mas isso não está nos dando diretamente o tempo. Então, provavelmente precisamos considerar uma abordagem diferente ou rever as definições simplificadas das dimensões.
Passo 4
Vamos considerar as unidades fundamentais para cada grandeza em termos de Tempo (T), Massa (M), Comprimento (L) e Corrente (I):
- Indutância (
): - Resistência (
): - Capacitância (
):
Agora, vamos recalcular
:
Parece que precisamos simplificar de outra maneira.
Passo 5
Reavaliando, talvez seja melhor considerar as relações conhecidas em circuitos RLC:
Sabemos que o tempo característico em um circuito RLC pode ser dado por
ou
. Essas expressões devem ter dimensões de tempo. Vamos verificar isso.
Primeiro, vamos analisar
:
Ou seja,
tem dimensão de tempo.
Agora, vamos analisar
:
Então,
também tem dimensão de tempo.
Resposta
Mostramos que tanto
quanto
têm dimensões de tempo.