Mostre que o produto vetorial , como definido em (1.9), é distributivo, isto é, que . (b) Mostre a regra do produto
Tenha cuidado com a ordem dos fatores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar duas coisas sobre o produto vetorial:
a) Que ele é distributivo, ou seja, .
b) A regra do produto vetorial em derivadas: .
Pra resolver isso, vamos precisar entender como o produto vetorial funciona e como manipular somas e derivadas com ele.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): mostrar que o produto vetorial é distributivo. Isso significa que, se a gente tem um vetor e a soma de dois vetores , então o produto vetorial de com essa soma é igual à soma dos produtos vetoriais de com cada vetor separadamente.
Para provar isso, vamos usar a definição do produto vetorial em termos das componentes dos vetores. Sejam:
,
,
.
A soma é .
O produto vetorial fica:
Resolvendo esse determinante, vamos ver que cada componente vai se separar em + . Assim, mostramos a distributividade.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): mostrar a regra do produto para o produto vetorial em derivadas. Isso quer dizer que a derivada do produto vetorial de dois vetores depende das derivadas de cada um deles.
A regra que queremos provar é:
Para provar isso, vamos usar a definição do derivada e a propriedade distributiva que já vimos na parte (a). Primeiro, consideramos a derivada do produto vetorial:
Usando a distributividade, expandimos os produtos e separamos as derivadas, chegando na expressão desejada. Assim, validamos a regra do produto para o produto vetorial.

Resposta

Mostramos que o produto vetorial é distributivo, ou seja, , e comprovamos a regra do produto vetorial em derivadas: .

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