Verifique por substituição direta que a função
de (1.56) é uma solução da equação diferencial de segunda ordem (1.55),
. (Como essa solução envolve duas constantes arbitrárias - os coeficientes das funções seno e cosseno -, ela é, na verdade, a solução geral.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
e precisa mostrar que essa função resolve a equação diferencial de segunda ordem
. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função
e verificar se ela realmente satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar funções trigonométricas. A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
. Essas regras vão nos ajudar a encontrar a primeira e a segunda derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos comparar a segunda derivada
com
:
Isso mostra que a segunda derivada de
é igual a
, que é exatamente a equação diferencial que queríamos verificar.
Resposta
Então, confirmamos que
é uma solução da equação diferencial
.