Verifique por substituição direta que a função de (1.56) é uma solução da equação diferencial de segunda ordem (1.55), . (Como essa solução envolve duas constantes arbitrárias - os coeficientes das funções seno e cosseno -, ela é, na verdade, a solução geral.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função e precisa mostrar que essa função resolve a equação diferencial de segunda ordem . Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e verificar se ela realmente satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar funções trigonométricas. A derivada de em relação a é e a derivada de é . Essas regras vão nos ajudar a encontrar a primeira e a segunda derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos comparar a segunda derivada com :
Isso mostra que a segunda derivada de é igual a , que é exatamente a equação diferencial que queríamos verificar.

Resposta

Então, confirmamos que é uma solução da equação diferencial .

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