Mostre que as transformações de coordenadas retangulares para coordenadas polares, e vice-versa, são dadas pelas quatro equações (1.37). Explique por que a equação para
não está completa e forneça uma versão completa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar como passar das coordenadas retangulares para as polares e vice-versa. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica ou Cálculo. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de conversão entre esses dois sistemas de coordenadas e entender um pouco sobre ângulos e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas polares. Em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por r (a distância até a origem) e φ (o ângulo em relação ao eixo positivo x). Nas coordenadas retangulares, temos x e y.
Passo 3
Para converter de coordenadas retangulares (x, y) para polares (r, φ), usamos as seguintes fórmulas:
Essas são duas das quatro equações que precisamos mostrar.
Passo 4
Agora, para converter de polares para retangulares, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Essas são as outras duas equações das transformações.
Passo 5
Então, reunindo tudo, as quatro equações que relacionam as coordenadas retangulares e polares são:
Essas são as equações (1.37) mencionadas no exercício.
Passo 6
Mas tem um problema com a equação para φ. A função arctan(y/x) não considera em qual quadrante o ponto está, então ela pode dar um ângulo incorreto se x for negativo, por exemplo. Por isso, a equação para φ não está completa.
Passo 7
Para corrigir isso, precisamos levar em conta os sinais de x e y para determinar o ângulo correto. Uma versão completa da equação para φ é usando a função atan2, que considera os sinais de ambos x e y:
Essa função retorna o ângulo correto no intervalo
, garantindo que φ esteja no quadrante certo.
Resposta
As transformações entre coordenadas retangulares e polares são dadas por:
A equação para φ inicialmente usada
não está completa porque não determina corretamente o quadrante do ângulo. Usando atan2(y, x), a equação fica completa, identificando corretamente o ângulo φ com base nos sinais de x e y.