Mostre que
satisfaz a equação de (Equação 4.25) para . Essa é a ‘segunda solução’ inaceitável; o que há de errado com ela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a função
satisfaz uma certa equação chamada Equação 4.25 quando os parâmetros e são iguais a zero. Além disso, precisamos entender por que essa solução é considerada a “segunda solução” e por que ela não é aceitável. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a Equação 4.25. Embora ela não esteja escrita aqui, vamos supor que seja uma equação diferencial que deve satisfazer. Geralmente, esse tipo de equação aparece em problemas de física, como a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas.
Vamos supor que a Equação 4.25 para seja algo do tipo:

Passo 3

Nosso objetivo é verificar se satisfaz essa equação. Para isso, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de em relação a .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de :
Sabemos que a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Simplificando a expressão, lembramos que , então:
Substituindo de volta:
Sabendo que , temos:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Sabemos que a derivada de é , então:

Passo 8

Agora, vamos substituir e na Equação 4.25:
Então, a função realmente satisfaz a Equação 4.25 para .

Passo 9

Agora, por que essa é a “segunda solução” inaceitável? Em equações diferenciais de segunda ordem, geralmente temos duas soluções independentes. A primeira solução pode ser bem comportada e fisicamente aceitável, enquanto a segunda pode ter comportamentos estranhos, como divergências ou singularidades em pontos específicos.
No caso de , percebemos que essa função tende a infinito quando se aproxima de 0 ou de , devido ao logaritmo e à tangente. Isso significa que a solução não é finita em todo o domínio de , tornando-a fisicamente inaceitável porque não representa um estado estável ou normalizável no contexto físico em que a equação foi originalmente formulada.

Resposta

Portanto, a função satisfaz a Equação 4.25 para . No entanto, essa solução é inaceitável porque apresenta divergências que a tornam fisicamente inviável.

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