Mostre que
satisfaz a equação de
(Equação 4.25) para
. Essa é a ‘segunda solução’ inaceitável; o que há de errado com ela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a função
satisfaz uma certa equação chamada Equação 4.25 quando os parâmetros
e
são iguais a zero. Além disso, precisamos entender por que essa solução é considerada a “segunda solução” e por que ela não é aceitável. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a Equação 4.25. Embora ela não esteja escrita aqui, vamos supor que seja uma equação diferencial que
deve satisfazer. Geralmente, esse tipo de equação aparece em problemas de física, como a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas.
Vamos supor que a Equação 4.25 para
seja algo do tipo:
Passo 3
Nosso objetivo é verificar se
satisfaz essa equação. Para isso, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
:
Sabemos que a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Simplificando a expressão, lembramos que
, então:
Substituindo de volta:
Sabendo que
, temos:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Sabemos que a derivada de
é
, então:
Passo 8
Agora, vamos substituir
e
na Equação 4.25:
Então, a função
realmente satisfaz a Equação 4.25 para
.
Passo 9
Agora, por que essa é a “segunda solução” inaceitável? Em equações diferenciais de segunda ordem, geralmente temos duas soluções independentes. A primeira solução pode ser bem comportada e fisicamente aceitável, enquanto a segunda pode ter comportamentos estranhos, como divergências ou singularidades em pontos específicos.
No caso de
, percebemos que essa função tende a infinito quando
se aproxima de 0 ou de
, devido ao logaritmo e à tangente. Isso significa que a solução não é finita em todo o domínio de
, tornando-a fisicamente inaceitável porque não representa um estado estável ou normalizável no contexto físico em que a equação foi originalmente formulada.
Resposta
Portanto, a função
satisfaz a Equação 4.25 para
. No entanto, essa solução é inaceitável porque apresenta divergências que a tornam fisicamente inviável.