(a) Resolva todas as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores r e p:
, e assim por diante. Resposta:
em que os índices representam
ou
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores posição
e momento
. Isso faz parte da mecânica quântica, onde a gente estuda como essas grandezas se relacionam matematicamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são comutadores e como eles funcionam entre os diferentes componentes como
e seus respectivos momentos
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador entre dois operadores
e
é definido como:
Isso basicamente mede o quanto
e
“não se comportam bem” quando você muda a ordem deles.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos componentes de posição e momento. Sabemos que na mecânica quântica, os operadores de posição
e os operadores de momento
satisfazem as seguintes relações de comutação canônicas:
Aqui,
é o delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário. Isso significa que cada componente de posição comuta com o momento correspondente, mas não com os demais.
Passo 4
Vamos verificar algumas dessas relações específicas:
- Comutador
:
Como
e
são componentes de posição diferentes, usando a relação
, temos:
- Comutador
:
Aqui,
é a componente de posição na direção
e
é o operador de momento na direção
. Como
, temos:
- Comutador
:
Agora,
e
são na mesma direção, então:
- Comutador
:
Assumindo que
é outra direção (talvez uma rotação ou algo similar), e considerando que diferentes componentes de momento comutam entre si:
Resposta
Assim, todas as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores
e
são:
Onde os índices
e
representam
ou
, e
,
,
.