(a) Resolva todas as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores r e p: , e assim por diante. Resposta:
em que os índices representam ou e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores posição e momento . Isso faz parte da mecânica quântica, onde a gente estuda como essas grandezas se relacionam matematicamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são comutadores e como eles funcionam entre os diferentes componentes como e seus respectivos momentos .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador entre dois operadores e é definido como:
Isso basicamente mede o quanto e “não se comportam bem” quando você muda a ordem deles.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos componentes de posição e momento. Sabemos que na mecânica quântica, os operadores de posição e os operadores de momento satisfazem as seguintes relações de comutação canônicas:
Aqui, é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário. Isso significa que cada componente de posição comuta com o momento correspondente, mas não com os demais.

Passo 4

Vamos verificar algumas dessas relações específicas:
  1. Comutador :
Como e são componentes de posição diferentes, usando a relação , temos:
  1. Comutador :
Aqui, é a componente de posição na direção e é o operador de momento na direção . Como , temos:
  1. Comutador :
Agora, e são na mesma direção, então:
  1. Comutador :
Assumindo que é outra direção (talvez uma rotação ou algo similar), e considerando que diferentes componentes de momento comutam entre si:

Resposta

Assim, todas as relações de comutação canônicas para os componentes dos operadores e são:
Onde os índices e representam ou , e , , .

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