Use a separação de variáveis em coordenadas cartesianas para resolver o poço cúbico infinito (ou ‘partícula em uma caixa’):
(b) Chame de
as energias distintas, em ordem crescente. Encontre
. Determine a degenerescência de cada um desses valores (ou seja, o número de estados distintos que compartilham da mesma energia). Comentário: em uma dimensão, não ocorrem estados ligados degenerados (veja o Problema 2.45), porém, em três dimensões eles são muito comuns.
(b) Chame de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula presa em um poço cúbico infinito, onde a partícula só pode estar dentro de um cubo de lado
. A gente vai usar a técnica de separação de variáveis em coordenadas cartesianas para encontrar as energias permitidas dessa partícula. Precisamos identificar as primeiras seis energias distintas (
) e ver quantos estados diferentes têm cada uma dessas energias, ou seja, a degenerescência de cada energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as energias permitidas para uma partícula em um poço cúbico infinito. A fórmula geral para a energia é:
Aqui,
,
, e
são números quânticos inteiros positivos (1, 2, 3, …),
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula e
é o tamanho do lado do cubo.
Passo 3
Agora, vamos listar as combinações possíveis de
,
, e
que dão as menores energias possíveis. Lembrando que a energia depende da soma dos quadrados desses números quânticos.
Começamos com o menor valor para cada
, que é 1.
-
, , : Esse é o , a energia mais baixa, e não há outras combinações que dão essa energia, então a degenerescência é 1.
Passo 4
-
Agora, procuramos a próxima menor energia. A soma dos quadrados que dá o próximo menor valor é 6:Por exemplo:
-
, , : - Também temos as permutações dessa combinação:
-
, , -
, ,
-
Então,e há 3 estados que compartilham essa energia, ou seja, a degenerescência é 3. -
Passo 5
-
A próxima soma dos quadrados é 11:
-
, , : - Mas também temos:
-
, , -
, ,
-
Porém, a soma desses quadrados dá 9, não 11. Vamos corrigir:Na verdade, após 6, a próxima soma menor é 9:-
, , : - E as permutações:
-
, , -
, ,
-
Então,com degenerescência 3. -
Passo 6
-
A próxima soma dos quadrados é 12:
-
, , : - E as permutações:
-
, , -
, ,
-
Assim,com degenerescência 3. -
Passo 7
-
A próxima soma dos quadrados é 12:
-
, , : - Esse é um estado único, então
com degenerescência 1.
-
Passo 8
-
Depois, temos a soma 14:
-
, , : - E as permutações:
-
, , -
, , -
, , -
, , -
, ,
-
Então,com degenerescência 6. -
Resposta
As primeiras seis energias distintas
e suas respectivas degenerescências são: