Use a separação de variáveis em coordenadas cartesianas para resolver o poço cúbico infinito (ou ‘partícula em uma caixa’):
ãá
(b) Chame de as energias distintas, em ordem crescente. Encontre . Determine a degenerescência de cada um desses valores (ou seja, o número de estados distintos que compartilham da mesma energia). Comentário: em uma dimensão, não ocorrem estados ligados degenerados (veja o Problema 2.45), porém, em três dimensões eles são muito comuns.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula presa em um poço cúbico infinito, onde a partícula só pode estar dentro de um cubo de lado . A gente vai usar a técnica de separação de variáveis em coordenadas cartesianas para encontrar as energias permitidas dessa partícula. Precisamos identificar as primeiras seis energias distintas ( ) e ver quantos estados diferentes têm cada uma dessas energias, ou seja, a degenerescência de cada energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as energias permitidas para uma partícula em um poço cúbico infinito. A fórmula geral para a energia é:
Aqui, , , e são números quânticos inteiros positivos (1, 2, 3, …), é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula e é o tamanho do lado do cubo.

Passo 3

Agora, vamos listar as combinações possíveis de , , e que dão as menores energias possíveis. Lembrando que a energia depende da soma dos quadrados desses números quânticos.
Começamos com o menor valor para cada , que é 1.
  1. , , : Esse é o , a energia mais baixa, e não há outras combinações que dão essa energia, então a degenerescência é 1.

Passo 4

  1. Agora, procuramos a próxima menor energia. A soma dos quadrados que dá o próximo menor valor é 6:
    Por exemplo:
    • , , :
    • Também temos as permutações dessa combinação:
      • , ,
      • , ,
    Então, e há 3 estados que compartilham essa energia, ou seja, a degenerescência é 3.

Passo 5

  1. A próxima soma dos quadrados é 11:
    • , , :
    • Mas também temos:
      • , ,
      • , ,
    Porém, a soma desses quadrados dá 9, não 11. Vamos corrigir:
    Na verdade, após 6, a próxima soma menor é 9:
    • , , :
    • E as permutações:
      • , ,
      • , ,
    Então, com degenerescência 3.

Passo 6

  1. A próxima soma dos quadrados é 12:
    • , , :
    • E as permutações:
      • , ,
      • , ,
    Assim, com degenerescência 3.

Passo 7

  1. A próxima soma dos quadrados é 12:
    • , , :
    • Esse é um estado único, então com degenerescência 1.

Passo 8

  1. Depois, temos a soma 14:
    • , , :
    • E as permutações:
      • , ,
      • , ,
      • , ,
      • , ,
      • , ,
    Então, com degenerescência 6.

Resposta

As primeiras seis energias distintas e suas respectivas degenerescências são:
êêêêêê

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