(b) Mostre que se é tipo-tempo futuro em um referencial , então ele é tipo-tempo futuro em todos os referenciais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor que é tipo-tempo futuro no referencial . Nosso objetivo é mostrar que esse vetor também será tipo-tempo futuro em qualquer outro referencial. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de transformações de Lorentz e como elas preservam o tipo de vetor (se é tempo, espaço ou luz) e sua orientação no tempo (futuro ou passado).

Passo 2

Sabemos que em relatividade especial, os referenciais inerciais são relacionados por transformações de Lorentz. Essas transformações mantêm invariante o intervalo espaço-temporal entre eventos. Ou seja, se um vetor é tipo-tempo em um referencial, ele continua sendo tipo-tempo em qualquer outro referencial ligado por uma transformação de Lorentz.

Passo 3

Um vetor ser tipo-tempo significa que seu produto interno é positivo ( ) e que sua componente temporal é positiva (indicando direção futura). As transformações de Lorentz preservam o sinal desse produto interno e a orientação da componente temporal.

Passo 4

Vamos considerar uma transformação de Lorentz qualquer que leva o referencial a outro referencial . Aplicando essa transformação ao vetor , obtemos um novo vetor no referencial .

Passo 5

Como a transformação de Lorentz preserva o intervalo espaço-temporal, temos:
Isso mostra que também é um vetor tipo-tempo.

Passo 6

Além disso, a transformação de Lorentz preserva a orientação temporal, ou seja, se em , então em . Isso significa que continua sendo um vetor futuro.

Resposta

Portanto, se é tipo-tempo futuro no referencial , ele também é tipo-tempo futuro em todos os referenciais.

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