(b) Mostre que se
é tipo-tempo futuro em um referencial
, então ele é tipo-tempo futuro em todos os referenciais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
que é tipo-tempo futuro no referencial
. Nosso objetivo é mostrar que esse vetor
também será tipo-tempo futuro em qualquer outro referencial. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de transformações de Lorentz e como elas preservam o tipo de vetor (se é tempo, espaço ou luz) e sua orientação no tempo (futuro ou passado).
Passo 2
Sabemos que em relatividade especial, os referenciais inerciais são relacionados por transformações de Lorentz. Essas transformações mantêm invariante o intervalo espaço-temporal entre eventos. Ou seja, se um vetor é tipo-tempo em um referencial, ele continua sendo tipo-tempo em qualquer outro referencial ligado por uma transformação de Lorentz.
Passo 3
Um vetor ser tipo-tempo significa que seu produto interno
é positivo (
) e que sua componente temporal
é positiva (indicando direção futura). As transformações de Lorentz preservam o sinal desse produto interno e a orientação da componente temporal.
Passo 4
Vamos considerar uma transformação de Lorentz qualquer que leva o referencial
a outro referencial
. Aplicando essa transformação ao vetor
, obtemos um novo vetor
no referencial
.
Passo 5
Como a transformação de Lorentz preserva o intervalo espaço-temporal, temos:
Isso mostra que
também é um vetor tipo-tempo.
Passo 6
Além disso, a transformação de Lorentz preserva a orientação temporal, ou seja, se
em
, então
em
. Isso significa que
continua sendo um vetor futuro.
Resposta
Portanto, se
é tipo-tempo futuro no referencial
, ele também é tipo-tempo futuro em todos os referenciais.