(a) Mostre que o vetor unitário das coordenadas polares bidimensionais é igual a
e determine uma expressão correspondente para . (b) Assumindo que depende do tempo , derive as suas respostas do item (a) para gerar uma demonstração alternativa dos resultados (1.42) e (1.46) para as derivadas temporais de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve coordenadas polares e vetores unitários. No item (a), a gente precisa mostrar que o vetor unitário nas coordenadas polares bidimensionais é igual a e também encontrar uma expressão para o vetor unitário . No item (b), vamos derivar essas expressões considerando que o ângulo depende do tempo , o que vai nos ajudar a encontrar as derivadas temporais desses vetores unitários. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre coordenadas polares e como os vetores unitários se comportam nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por , onde é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Os vetores unitários e são direções que mudam conforme o ponto se move no plano.

Passo 3

O vetor unitário aponta na direção radial, ou seja, na direção do ponto . Já o vetor unitário é perpendicular a e aponta na direção tangencial ao movimento circular ao redor da origem.

Passo 4

Para expressar em termos dos vetores unitários cartesianos e , usamos as relações trigonométricas básicas. Imagine um triângulo retângulo onde é a hipotenusa, é o cateto adjacente e é o cateto oposto em relação ao ângulo .

Passo 5

Nesse triângulo, o cosseno de nos dá a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, ou seja, . Similarmente, o seno de nos dá a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou seja, .

Passo 6

Portanto, podemos escrever o vetor unitário como a soma das componentes em e multiplicadas por seus respectivos cosseno e seno:

Passo 7

Agora, para encontrar a expressão de , lembramos que esse vetor é perpendicular a e aponta na direção de aumento de . Geometricamente, isso significa que está obtido rotacionando em 90 graus no sentido anti-horário. Aplicando essa rotação, temos:

Passo 8

Agora, no item (b), vamos assumir que o ângulo depende do tempo , ou seja, . Queremos derivar as expressões de e em relação ao tempo para encontrar suas derivadas temporais.

Passo 9

Vamos derivar em relação a usando a regra da derivada para funções vetoriais:
Perceba que a expressão dentro dos parênteses é exatamente , então:

Passo 10

De forma semelhante, vamos derivar em relação a :
E essa expressão dentro dos parênteses é justamente , ent��o:

Resposta

(a)
(b)

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