(a) Mostre que o vetor unitário
das coordenadas polares bidimensionais é igual a
e determine uma expressão correspondente para
. (b) Assumindo que
depende do tempo
, derive as suas respostas do item (a) para gerar uma demonstração alternativa dos resultados (1.42) e (1.46) para as derivadas temporais de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve coordenadas polares e vetores unitários. No item (a), a gente precisa mostrar que o vetor unitário
nas coordenadas polares bidimensionais é igual a e também encontrar uma expressão para o vetor unitário
. No item (b), vamos derivar essas expressões considerando que o ângulo
depende do tempo
, o que vai nos ajudar a encontrar as derivadas temporais desses vetores unitários. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre coordenadas polares e como os vetores unitários se comportam nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. Os vetores unitários
e
são direções que mudam conforme o ponto se move no plano.
Passo 3
O vetor unitário
aponta na direção radial, ou seja, na direção do ponto
. Já o vetor unitário
é perpendicular a
e aponta na direção tangencial ao movimento circular ao redor da origem.
Passo 4
Para expressar
em termos dos vetores unitários cartesianos
e
, usamos as relações trigonométricas básicas. Imagine um triângulo retângulo onde
é a hipotenusa,
é o cateto adjacente e
é o cateto oposto em relação ao ângulo
.
Passo 5
Nesse triângulo, o cosseno de
nos dá a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, ou seja,
. Similarmente, o seno de
nos dá a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou seja, .
Passo 6
Portanto, podemos escrever o vetor unitário
como a soma das componentes em
e
multiplicadas por seus respectivos cosseno e seno:
Passo 7
Agora, para encontrar a expressão de
, lembramos que esse vetor é perpendicular a
e aponta na direção de aumento de
. Geometricamente, isso significa que
está obtido rotacionando
em 90 graus no sentido anti-horário. Aplicando essa rotação, temos:
Passo 8
Agora, no item (b), vamos assumir que o ângulo
depende do tempo
, ou seja,
. Queremos derivar as expressões de
e
em relação ao tempo para encontrar suas derivadas temporais.
Passo 9
Vamos derivar
em relação a
usando a regra da derivada para funções vetoriais:
Perceba que a expressão dentro dos parênteses é exatamente
, então:
Passo 10
De forma semelhante, vamos derivar
em relação a
:
E essa expressão dentro dos parênteses é justamente
, ent��o:
Resposta
(a)
(b)