O teorema de Dirichlet diz que ‘qualquer’ função
no intervalo
pode ser expandida como uma série de Fourier:
Demonstre que isso pode ser escrito equivalentemente como
O que é
em termos de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o teorema de Dirichlet, que nos diz que qualquer função
no intervalo
pode ser escrita como uma série de Fourier. Primeiramente, temos duas formas de escrever essa série de Fourier:
-
Usando senos e cossenos:
-
Usando exponenciais complexas:
O exercício pede para mostrar que essas duas formas são equivalentes e descobrir como os coeficientes
se relacionam com
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as séries de Fourier e a relação entre senos, cossenos e exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que conecta as funções trigonométricas com exponenciais complexas:
E, de forma similar:
Essas duas equações nos permitem expressar senos e cossenos em termos de exponenciais.
Passo 3
Vamos reorganizar as equa��ões de Euler para isolar senos e cossenos:
Essas expressões serão úteis para reescrever a série de Fourier em termos de exponenciais complexas.
Passo 4
Agora, vamos pegar a série original em termos de senos e cossenos e substituir usando as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Passo 6
Agrupando os termos com
e
:
Passo 7
Observando que na série com exponenciais complexas a soma vai de
a
, podemos estender a nossa soma para incluir os termos negativos. Para isso, definimos
de tal forma que:
Para
:
E para
:
Passo 8
Assim, reescrevemos a série original em termos de
:
Resposta
Os coeficientes
são dados por: