O teorema de Dirichlet diz que ‘qualquer’ função no intervalo pode ser expandida como uma série de Fourier:
Demonstre que isso pode ser escrito equivalentemente como
O que é em termos de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o teorema de Dirichlet, que nos diz que qualquer função no intervalo pode ser escrita como uma série de Fourier. Primeiramente, temos duas formas de escrever essa série de Fourier:
  1. Usando senos e cossenos:
  2. Usando exponenciais complexas:
O exercício pede para mostrar que essas duas formas são equivalentes e descobrir como os coeficientes se relacionam com e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as séries de Fourier e a relação entre senos, cossenos e exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que conecta as funções trigonométricas com exponenciais complexas:
E, de forma similar:
Essas duas equações nos permitem expressar senos e cossenos em termos de exponenciais.

Passo 3

Vamos reorganizar as equa��ões de Euler para isolar senos e cossenos:
Essas expressões serão úteis para reescrever a série de Fourier em termos de exponenciais complexas.

Passo 4

Agora, vamos pegar a série original em termos de senos e cossenos e substituir usando as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:

Passo 6

Agrupando os termos com e :

Passo 7

Observando que na série com exponenciais complexas a soma vai de a , podemos estender a nossa soma para incluir os termos negativos. Para isso, definimos de tal forma que:
Para :
E para :

Passo 8

Assim, reescrevemos a série original em termos de :

Resposta

Os coeficientes são dados por:

Exercícios de Livros Relacionados