Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite. (b) A relação de recursão seguinte dá
em termos dos dois polinômios de Hermite precedentes:
Use-a, juntamente com a resposta de (a), para obter
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Hermite
e
usando uma relação de recursão que já foi dada. Basicamente, vamos usar os polinômios anteriores para chegar nos próximos. Para isso, precisamos conhecer a relação de recursão e ter os polinômios anteriores já calculados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação de recursão que a gente vai usar:
Essa fórmula nos permite calcular o próximo polinômio de Hermite
sabendo os dois anteriores
e
.
Passo 3
Para encontrar
e
, precisamos ter os polinômios de
e
, respectivamente. Vou supor que já temos os polinômios até
calculados a partir da parte (a) do exercício.
Passo 4
Vamos começar calculando
usando a relação de recursão:
Aqui,
, então substituímos na fórmula.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores de
e
que já conhecemos. Suponha que:
Substituindo na equação de
:
Passo 6
Vamos distribuir o
na primeira parte:
E a segunda parte:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes.
Passo 8
Somando os termos:
Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos calcular
usando a mesma relação de recursão:
Substituindo
e
que já conhecemos.
Passo 10
Substituindo os valores:
Passo 11
Distribuindo o
:
E a segunda parte:
Passo 12
Juntando tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes.
Passo 13
Somando os termos:
Então, temos:
Resposta
Os polinômios de Hermite são: