Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite. (b) A relação de recursão seguinte dá em termos dos dois polinômios de Hermite precedentes: Use-a, juntamente com a resposta de (a), para obter e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Hermite e usando uma relação de recursão que já foi dada. Basicamente, vamos usar os polinômios anteriores para chegar nos próximos. Para isso, precisamos conhecer a relação de recursão e ter os polinômios anteriores já calculados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação de recursão que a gente vai usar:
Essa fórmula nos permite calcular o próximo polinômio de Hermite sabendo os dois anteriores e .

Passo 3

Para encontrar e , precisamos ter os polinômios de e , respectivamente. Vou supor que já temos os polinômios até calculados a partir da parte (a) do exercício.

Passo 4

Vamos começar calculando usando a relação de recursão:
Aqui, , então substituímos na fórmula.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de e que já conhecemos. Suponha que:
Substituindo na equação de :

Passo 6

Vamos distribuir o na primeira parte:
E a segunda parte:

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 8

Somando os termos:
Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos calcular usando a mesma relação de recursão:
Substituindo e que já conhecemos.

Passo 10

Substituindo os valores:

Passo 11

Distribuindo o :
E a segunda parte:

Passo 12

Juntando tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 13

Somando os termos:
Então, temos:

Resposta

Os polinômios de Hermite são:

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