Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite. © Se você diferenciar um polinômio de -ésima ordem, obterá um polinômio de ordem . Para polinômios de Hermite, na verdade, Verifique isso, diferenciando e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar que, ao diferenciar um polinômio de Hermite de ordem , a derivada é igual a vezes o polinômio de ordem . Para fazer isso, vamos diferenciar os polinômios de Hermite e e conferir se a relação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como são os polinômios de Hermite e . Eles são definidos da seguinte forma:
Esses polinômios são parte da sequência de polinômios de Hermite, que aparecem em várias áreas da matemática e física, como na solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar e em relação a .
Primeiro, a derivada de :
Em seguida, a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas derivadas correspondem a vezes o polinômio de ordem .
Para :
Comparando com a derivada que calculamos:
Está igual!
Para :
Comparando com a derivada que calculamos:
Também está igual!

Resposta

Conseguimos verificar que, ao diferenciar e , a derivada é igual a vezes o polinômio de ordem . Ou seja:

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