Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite. © Se você diferenciar um polinômio de
-ésima ordem, obterá um polinômio de ordem
. Para polinômios de Hermite, na verdade,
Verifique isso, diferenciando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar que, ao diferenciar um polinômio de Hermite de ordem
, a derivada é igual a
vezes o polinômio de ordem
. Para fazer isso, vamos diferenciar os polinômios de Hermite
e
e conferir se a relação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como são os polinômios de Hermite
e
. Eles são definidos da seguinte forma:
Esses polinômios são parte da sequência de polinômios de Hermite, que aparecem em várias áreas da matemática e física, como na solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar
e
em relação a
.
Primeiro, a derivada de
:
Em seguida, a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas derivadas correspondem a
vezes o polinômio de ordem
.
Para
:
Comparando com a derivada que calculamos:
Está igual!
Para
:
Comparando com a derivada que calculamos:
Também está igual!
Resposta
Conseguimos verificar que, ao diferenciar
e
, a derivada é igual a
vezes o polinômio de ordem
. Ou seja: