O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial:
em que e são constantes ( é real e positivo).
(d) Calcule e . Resposta parcial: , porém, pode ser necessário o uso de um pouco de álgebra para reduzi-lo à forma simples.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A questão é sobre o pacote de onda gaussiano de uma partícula livre. A função de onda inicial é dada por:
onde e são constantes, sendo real e positivo. Nosso objetivo aqui é calcular os valores esperados , , , , e as incertezas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como operadores de posição e momento, e entender um pouco sobre integrais envolvendo funções gaussianas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de , que é . O valor esperado de uma observável em mecânica quântica é dado por:
Aqui, é o conjugado complexo de . Como nossa função de onda é real, . Então, substituindo:
Observamos que a função é uma função ímpar, ou seja, . A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Sabemos que:
Aqui, . Portanto:

Passo 4

Vamos determinar a constante de normalização . Sabemos que a função de onda deve estar normalizada, ou seja:
Usando a integral conhecida:
Com :

Passo 5

Agora, substituímos na expressão de :
Portanto:

Passo 6

Vamos calcular . O operador do momento é dado por:
Então:
Calculando a derivada:
Substituindo:
Novamente, porque a função integrada é ímpar.

Passo 7

Agora, vamos calcular . O operador é:
Então:
Calculando a segunda derivada de :
Substituindo:
Separando a integral:
Usando as integrais conhecidas:
Substituindo:
Simplificando:
Mas, ao resolver corretamente as integrais e simplificar, chegamos a:

Passo 8

Agora, vamos calcular as incertezas e . A incerteza é dada por:
Já calculamos:
E:

Resposta

Os valores esperados e as incertezas são:

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