O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial:
em que
e
são constantes (
é real e positivo).
(d) Calcule
e
. Resposta parcial:
, porém, pode ser necessário o uso de um pouco de álgebra para reduzi-lo à forma simples.
(d) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A questão é sobre o pacote de onda gaussiano de uma partícula livre. A função de onda inicial é dada por:
onde
e
são constantes, sendo
real e positivo. Nosso objetivo aqui é calcular os valores esperados
,
,
,
, e as incertezas
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como operadores de posição e momento, e entender um pouco sobre integrais envolvendo funções gaussianas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado de
, que é
. O valor esperado de uma observável em mecânica quântica é dado por:
Aqui,
é o conjugado complexo de
. Como nossa função de onda é real,
. Então, substituindo:
Observamos que a função
é uma função ímpar, ou seja,
. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Sabemos que:
Aqui,
. Portanto:
Passo 4
Vamos determinar a constante de normalização
. Sabemos que a função de onda deve estar normalizada, ou seja:
Usando a integral conhecida:
Com
:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Portanto:
Passo 6
Vamos calcular
. O operador do momento é dado por:
Então:
Calculando a derivada:
Substituindo:
Novamente, porque a função integrada é ímpar.
Passo 7
Agora, vamos calcular
. O operador
é:
Então:
Calculando a segunda derivada de
:
Substituindo:
Separando a integral:
Usando as integrais conhecidas:
Substituindo:
Simplificando:
Mas, ao resolver corretamente as integrais e simplificar, chegamos a:
Passo 8
Agora, vamos calcular as incertezas
e
. A incerteza é dada por:
Já calculamos:
E:
Resposta
Os valores esperados e as incertezas são: