Observação: Antes de fazer qualquer cálculo envolvendo dilatação do tempo ou contração do comprimento, é útil identificar qual observador mede o intervalo de tempo apropriado
\Delta t_{0} ou o comprimento apropriado L_{0}.
Uma partícula conhecida como píon sobrevive por pouco tempo antes de se desintegrar em outras partículas. Suponha que um píon esteja se movendo com uma velocidade igual a 0,990 c, e um observador que está estacionário em um laboratório meça o tempo de vida de um píon como igual a 3,5 \times 10^{-8} \mathrm{~s}. (a) Qual o tempo de vida de acordo com uma pessoa hipotética que esteja se movimentando junto com o píon? (b) De acordo com essa pessoa hipotética, qual o deslocamento do laboratório antes que o píon se desintegre?

Passo 1

O enunciado diz que um píon viaja a uma velocidade v = 0{,}990\,c e, segundo um observador no laboratório, seu tempo de vida medido é \Delta t = 3{,}5\times10^{-8}\,\mathrm{s}. O exercício pede:
– (a) o tempo de vida próprio \Delta t_{0}, ou seja, o intervalo medido no referencial em que o píon está em repouso;
– (b) o deslocamento do laboratório medido nesse referencial do píon, antes que ele se desintegre.
Para resolver, vamos usar a fórmula da dilatação do tempo na Relatividade Restrita, que envolve o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}
com \beta = v/c.

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz \gamma. Aqui \beta = 0{,}990, então
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}990)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9801}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0199}} \approx 7{,}09.

Passo 3

Encontrar o tempo de vida próprio \Delta t_{0}. Como \Delta t é o tempo dilatado medido no laboratório, vale
\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0} \quad\Longrightarrow\quad \Delta t_{0} = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{3{,}5\times10^{-8}\,\mathrm{s}}{7{,}09} \approx 4{,}94\times10^{-9}\,\mathrm{s}.

Passo 4

Determinar o deslocamento do laboratório no referencial do píon. Nesse referencial, o laboratório se afasta com velocidade v durante o tempo próprio \Delta t_{0}, logo
L = v\,\Delta t_{0} = (0{,}990\,c)\,(4{,}94\times10^{-9}\,\mathrm{s}) = 0{,}990\times(3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s})\times4{,}94\times10^{-9}\,\mathrm{s} \approx 1{,}47\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) \Delta t_{0}\approx 4{,}94\times10^{-9}\,\mathrm{s}.
(b) L\approx 1{,}47\,\mathrm{m}.

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