Observação: Antes de fazer qualquer cálculo envolvendo dilatação do tempo ou contração do comprimento, é útil identificar qual observador mede o intervalo de tempo apropriado
ou o comprimento apropriado
.
**7. Quando observado na Terra, sabe-se que certo tipo de bactéria dobra o seu número a cada 24,0 horas. Duas culturas dessas bactérias são preparadas, cada uma consistindo inicialmente de uma bactéria. Uma cultura é deixada na Terra e a outra é colocada em um foguete que viaja a uma velocidade de
em relação à Terra. Em um tempo em que a cultura mantida na Terra cresceu para 256 bactérias, quantas bactérias existem na cultura no foguete, de acordo com um observador baseado na Terra?
Passo 1
O enunciado diz que, na Terra, a cultura de bactérias dobra de número a cada
h (esse é o tempo apropriado de duplicação medido no próprio referencial da cultura terrestre). Temos duas culturas iniciando com uma bactéria cada: uma fica na Terra e outra viaja num foguete a
. Quando a cultura na Terra chega a 256 bactérias, queremos saber quantas haverá na cultura do foguete, segundo um observador na Terra. Para resolver vamos precisar de exponencial de crescimento (dobramentos sucessivos) e do efeito de dilatação do tempo em Relatividade Restrita.
Passo 2
Primeiro determinamos quantas duplicações a cultura na Terra fez para chegar a 256. Se
no início e dobra a cada 24 h, então
implica
Ou seja, foram
dobramentos.
Passo 3
O tempo total decorrido no referencial da Terra é então
Passo 4
No foguete, o tempo próprio entre duplicações continua sendo
h, mas o observador na Terra vê esse relógio do foguete dilatado por
Logo, na Terra o intervalo entre duplicações do foguete fica
Passo 5
O número de duplicações que o observador na Terra vê ocorrer no foguete é
Portanto, o número de bactérias no foguete, a partir de uma inicial de 1, é
Resposta
A cultura no foguete terá 16 bactérias, segundo um observador na Terra.