Observação: Antes de fazer qualquer cálculo envolvendo dilatação do tempo ou contração do comprimento, é útil identificar qual observador mede o intervalo de tempo apropriado
\Delta t_{0} ou o comprimento apropriado L_{0}.
**7. Quando observado na Terra, sabe-se que certo tipo de bactéria dobra o seu número a cada 24,0 horas. Duas culturas dessas bactérias são preparadas, cada uma consistindo inicialmente de uma bactéria. Uma cultura é deixada na Terra e a outra é colocada em um foguete que viaja a uma velocidade de 0,866 c em relação à Terra. Em um tempo em que a cultura mantida na Terra cresceu para 256 bactérias, quantas bactérias existem na cultura no foguete, de acordo com um observador baseado na Terra?

Passo 1

O enunciado diz que, na Terra, a cultura de bactérias dobra de número a cada \Delta t_{0}=24{,}0 h (esse é o tempo apropriado de duplicação medido no próprio referencial da cultura terrestre). Temos duas culturas iniciando com uma bactéria cada: uma fica na Terra e outra viaja num foguete a v=0,866\,c. Quando a cultura na Terra chega a 256 bactérias, queremos saber quantas haverá na cultura do foguete, segundo um observador na Terra. Para resolver vamos precisar de exponencial de crescimento (dobramentos sucessivos) e do efeito de dilatação do tempo em Relatividade Restrita.

Passo 2

Primeiro determinamos quantas duplicações a cultura na Terra fez para chegar a 256. Se N=1 no início e dobra a cada 24 h, então
256 = 1 \times 2^{n}
implica
n = \log_{2}(256) = 8.
Ou seja, foram 8 dobramentos.

Passo 3

O tempo total decorrido no referencial da Terra é então
t = n \times 24{,}0\\ \text{h} = 8 \times 24{,}0\\ \text{h} = 192\\ \text{h}.

Passo 4

No foguete, o tempo próprio entre duplicações continua sendo \Delta t_{0}=24{,}0 h, mas o observador na Terra vê esse relógio do foguete dilatado por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,866)^{2}}} = 2.
Logo, na Terra o intervalo entre duplicações do foguete fica
\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0} = 2 \times 24{,}0\\ \text{h} = 48{,}0\\ \text{h}.

Passo 5

O número de duplicações que o observador na Terra vê ocorrer no foguete é
n' = \frac{t}{\Delta t} = \frac{192\\ \text{h}}{48{,}0\\ \text{h}} = 4.
Portanto, o número de bactérias no foguete, a partir de uma inicial de 1, é
N' = 1 \times 2^{n'} = 2^{4} = 16.

Resposta

A cultura no foguete terá 16 bactérias, segundo um observador na Terra.

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