Demonstre que, para bósons, o potencial químico deve ser sempre menor do que a energia mínima permitida. Dica: não pode ser negativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, para bósons, o potencial químico ( ) sempre tem que ser menor que a energia mínima permitida ( ). Estamos lidando com o conteúdo de estatística quântica, especificamente com a distribuição de Bose-Einstein. Vamos precisar usar a fórmula da ocupação de estados para bósons e entender por que a ocupação não pode ser negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que descreve o número de partículas ocupando um estado com energia para bósons. Essa fórmula é conhecida como distribuição de Bose-Einstein:
Aqui, é o número de partículas no estado de energia , é o potencial químico, é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 3

Agora, observe que a ocupação não pode ser negativa, como o próprio enunciado diz. Então, vamos analisar a expressão:
Para que a fração seja não negativa, o denominador tem que ser maior que zero:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade:
Sabemos que a função exponencial é sempre maior que 1 quando . Portanto:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por (que é positivo, então a desigualdade não muda de sentido):

Passo 6

Essa desigualdade nos diz que o potencial químico deve ser menor que a energia de qualquer estado específico. Para que isso valha para todos os estados, tem que ser menor que a menor energia possível do sistema, ou seja, .

Resposta

Portanto, mostramos que, para bósons, o potencial químico deve ser sempre menor que a energia mínima permitida .

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