Demonstre que, para bósons, o potencial químico deve ser sempre menor do que a energia mínima permitida. Dica:
não pode ser negativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, para bósons, o potencial químico (
) sempre tem que ser menor que a energia mínima permitida (
). Estamos lidando com o conteúdo de estatística quântica, especificamente com a distribuição de Bose-Einstein. Vamos precisar usar a fórmula da ocupação de estados para bósons e entender por que a ocupação não pode ser negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que descreve o número de partículas ocupando um estado com energia
para bósons. Essa fórmula é conhecida como distribuição de Bose-Einstein:
Aqui,
é o número de partículas no estado de energia
,
é o potencial químico,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura.
Passo 3
Agora, observe que a ocupação
não pode ser negativa, como o próprio enunciado diz. Então, vamos analisar a expressão:
Para que a fração seja não negativa, o denominador tem que ser maior que zero:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade:
Sabemos que a função exponencial
é sempre maior que 1 quando
. Portanto:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por
(que é positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
Passo 6
Essa desigualdade nos diz que o potencial químico
deve ser menor que a energia
de qualquer estado específico. Para que isso valha para todos os estados,
tem que ser menor que a menor energia possível do sistema, ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que, para bósons, o potencial químico
deve ser sempre menor que a energia mínima permitida
.