Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas Cartesianas
, com
medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a Lagrangiana de um projétil que não sofre resistência do ar, usando as coordenadas cartesianas
, onde
é a direção vertical pra cima. Depois disso, temos que derivar as três equações de Lagrange e mostrar que elas correspondem às equações de movimento que a gente espera para um projétil. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Lagrangiana, como aplicá-la em coordenadas cartesianas e como obter as equações de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. A Lagrangiana (
) é definida como a diferença entre a energia cinética (
) e a energia potencial (
):
Isso ajuda a simplificar a obtenção das equações de movimento para sistemas físicos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a energia cinética do projétil. A energia cinética em três dimensões é dada por:
Aqui,
é a massa do projétil, e as derivadas com pontos representam as velocidades nas direções
,
e
.
Passo 4
Em seguida, a energia potencial
para o projétil só depende da altura na direção
devido à gravidade. Então, temos:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da Lagrangiana:
Essa é a Lagrangiana do sistema em termos das coordenadas cartesianas.
Passo 6
Com a Lagrangiana em mãos, vamos aplicar as equações de Lagrange. A equação de Lagrange para cada coordenada
é:
Vamos aplicar isso para cada uma das coordenadas
,
e
.
Passo 7
Para a coordenada
:
- Calculamos
- Derivamos em relação ao tempo:
- Como
não depende de , - Então, a equação de Lagrange fica:
Passo 8
Para a coordenada
, o processo é o mesmo:
- Calculamos
- Derivamos em relação ao tempo:
- Como
não depende de , - Então, a equação de Lagrange fica:
Passo 9
Para a coordenada
:
- Calculamos
- Derivamos em relação ao tempo:
- Calculamos
- Então, a equação de Lagrange fica:
ou
Passo 10
Agora, temos as três equações de Lagrange:
Isso faz sentido! Para um projétil sem resistência do ar, as acelerations nas direções
e
são zero (movimento retilíneo uniforme), e na direção
temos a aceleração devida à gravidade.
Resposta
A Lagrangiana do projétil é:
As três equações de Lagrange derivadas são:
Essas equações correspondem exatamente às expectativas para o movimento de um projétil sem resistência do ar.