Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas Cartesianas , com medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a Lagrangiana de um projétil que não sofre resistência do ar, usando as coordenadas cartesianas , onde é a direção vertical pra cima. Depois disso, temos que derivar as três equações de Lagrange e mostrar que elas correspondem às equações de movimento que a gente espera para um projétil. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Lagrangiana, como aplicá-la em coordenadas cartesianas e como obter as equações de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. A Lagrangiana ( ) é definida como a diferença entre a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ):
Isso ajuda a simplificar a obtenção das equações de movimento para sistemas físicos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a energia cinética do projétil. A energia cinética em três dimensões é dada por:
Aqui, é a massa do projétil, e as derivadas com pontos representam as velocidades nas direções , e .

Passo 4

Em seguida, a energia potencial para o projétil só depende da altura na direção devido à gravidade. Então, temos:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da Lagrangiana:
Essa é a Lagrangiana do sistema em termos das coordenadas cartesianas.

Passo 6

Com a Lagrangiana em mãos, vamos aplicar as equações de Lagrange. A equação de Lagrange para cada coordenada é:
Vamos aplicar isso para cada uma das coordenadas , e .

Passo 7

Para a coordenada :
  1. Calculamos
  2. Derivamos em relação ao tempo:
  3. Como não depende de ,
  4. Então, a equação de Lagrange fica:

Passo 8

Para a coordenada , o processo é o mesmo:
  1. Calculamos
  2. Derivamos em relação ao tempo:
  3. Como não depende de ,
  4. Então, a equação de Lagrange fica:

Passo 9

Para a coordenada :
  1. Calculamos
  2. Derivamos em relação ao tempo:
  3. Calculamos
  4. Então, a equação de Lagrange fica: ou

Passo 10

Agora, temos as três equações de Lagrange:
Isso faz sentido! Para um projétil sem resistência do ar, as acelerations nas direções e são zero (movimento retilíneo uniforme), e na direção temos a aceleração devida à gravidade.

Resposta

A Lagrangiana do projétil é:
As três equações de Lagrange derivadas são:
Essas equações correspondem exatamente às expectativas para o movimento de um projétil sem resistência do ar.

Exercícios de Livros Relacionados