Uma partícula está confinada a mover-se sobre uma superfície de um cone circular, com seu eixo sobre o eixo vertical
, o vértice na origem (apontando para baixo), e ângulo de abertura
. Obtenha a Lagrangiana
em termos de coordenadas esféricas polares
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula que se move sobre a superfície de um cone circular com ângulo de abertura
. Queremos encontrar a Lagrangiana
usando coordenadas esféricas polares, que são
(a distância radial) e
(o ângulo azimutal). Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, restrições de movimento e a definição de Lagrangiana na mecânica clássica.
Passo 2
Em coordenadas esféricas polares, a posição da partícula é descrita por
,
(o ângulo polar) e
. No entanto, como a partícula está “presa” na superfície de um cone com ângulo de abertura
, o ângulo
é constante e igual a
. Isso significa que a única coordenação dinâmica restante é
e
.
Passo 3
A energia cinética
de uma partícula em coordenadas esféricas é dada por:
Como
é constante, sua derivada temporal
é zero. Portanto, a energia cinética simplifica para:
Passo 4
A energia potencial
geralmente depende da posição da partícula em um campo de força. No entanto, o enunciado não especifica nenhuma força externa, como a gravidade. Portanto, assumiremos que
para simplificar.
Passo 5
A Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A Lagrangiana da partícula é: