Uma partícula está confinada a mover-se sobre uma superfície de um cone circular, com seu eixo sobre o eixo vertical , o vértice na origem (apontando para baixo), e ângulo de abertura . Obtenha a Lagrangiana em termos de coordenadas esféricas polares e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula que se move sobre a superfície de um cone circular com ângulo de abertura . Queremos encontrar a Lagrangiana usando coordenadas esféricas polares, que são (a distância radial) e (o ângulo azimutal). Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, restrições de movimento e a definição de Lagrangiana na mecânica clássica.

Passo 2

Em coordenadas esféricas polares, a posição da partícula é descrita por , (o ângulo polar) e . No entanto, como a partícula está “presa” na superfície de um cone com ângulo de abertura , o ângulo é constante e igual a . Isso significa que a única coordenação dinâmica restante é e .

Passo 3

A energia cinética de uma partícula em coordenadas esféricas é dada por:
Como é constante, sua derivada temporal é zero. Portanto, a energia cinética simplifica para:

Passo 4

A energia potencial geralmente depende da posição da partícula em um campo de força. No entanto, o enunciado não especifica nenhuma força externa, como a gravidade. Portanto, assumiremos que para simplificar.

Passo 5

A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A Lagrangiana da partícula é:

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