Obtenha a Lagrangiana
para duas partículas de massas iguais,
, confinadas no eixo
e conectadas por uma mola com energia potencial
. [Aqui
é a distensão da mola,
, onde
é o comprimento da mola não distendida, e assumi que a massa 1 permanece à direita da massa 2 durante todo o tempo.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a Lagrangiana
de duas partículas com massas iguais,
, que estão restritas a se mover no eixo
e conectadas por uma mola. O conteúdo principal aqui envolve a mecânica clássica, especificamente o uso da Lagrangiana, que é uma ferramenta poderosa para descrever sistemas físicos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as energias cinética e potencial das partículas e então montar a Lagrangiana.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições das duas massas no eixo
. Chamaremos as posições de
e
. Como as massas estão conectadas por uma mola, a extensão ou compressão da mola é dada por
, onde
é o comprimento da mola sem distensão. Essa relação nos ajuda a expressar a energia potencial armazenada na mola.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética de cada partícula. A energia cinética (
) de uma partícula é dada por:
Então, para as duas massas, temos:
Aqui,
e
são as velocidades das partículas
e
, respectivamente.
Passo 4
A energia cinética total do sistema é a soma das energias cinéticas individuais das duas massas:
Passo 5
A energia potencial armazenada na mola é dada por:
Substituindo
pela expressão da extensão da mola:
Passo 6
Finalmente, a Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:
Resposta
A Lagrangiana do sistema é dada por: