Obtenha a Lagrangiana para duas partículas de massas iguais, , confinadas no eixo e conectadas por uma mola com energia potencial . [Aqui é a distensão da mola, , onde é o comprimento da mola não distendida, e assumi que a massa 1 permanece à direita da massa 2 durante todo o tempo.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a Lagrangiana de duas partículas com massas iguais, , que estão restritas a se mover no eixo e conectadas por uma mola. O conteúdo principal aqui envolve a mecânica clássica, especificamente o uso da Lagrangiana, que é uma ferramenta poderosa para descrever sistemas físicos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as energias cinética e potencial das partículas e então montar a Lagrangiana.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições das duas massas no eixo . Chamaremos as posições de e . Como as massas estão conectadas por uma mola, a extensão ou compressão da mola é dada por , onde é o comprimento da mola sem distensão. Essa relação nos ajuda a expressar a energia potencial armazenada na mola.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética de cada partícula. A energia cinética ( ) de uma partícula é dada por:
Então, para as duas massas, temos:
Aqui, e são as velocidades das partículas e , respectivamente.

Passo 4

A energia cinética total do sistema é a soma das energias cinéticas individuais das duas massas:

Passo 5

A energia potencial armazenada na mola é dada por:
Substituindo pela expressão da extensão da mola:

Passo 6

Finalmente, a Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:

Resposta

A Lagrangiana do sistema é dada por:

Exercícios de Livros Relacionados