A origem da força de arrasto quadrática sobre qualquer partícula em um fluido é a inércia do fluido que o projétil impulsiona. (a) Considerando que o projétil tem uma área de seção transversal (normal à sua velocidade) e velocidade , e que a densidade do fluido é , mostre que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido (massa/tempo) é . (b) Fazendo a suposição simplificadora de que todo o fluido é acelerado a uma velocidade do projétil, mostre que a força de arrasto resultante sobre o projétil é . Certamente, não é verdade que todo o fluido que o projétil encontra é acelerado até a velocidade total , mas devemos estimar que a força deveria, na realidade, ter a forma
onde é um número menor do que 1 , que depende da forma do projétil, com pequeno para um corpo longilíneo e grande para um corpo longo com frente planar. Isso se mostra verdadeiro e, para uma esfera, o fator é determinado como sendo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a força de arrasto que um projétil enfrenta ao se mover em um fluido. Vamos precisar entender conceitos de dinâmica dos fluidos, como taxa de fluxo de massa e força de arrasto quadrática. Vamos usar fórmulas básicas de física para derivar as expressões pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos mostrar que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido (massa por tempo) é dada por .
Imagine que o projétil está se movendo a uma velocidade e tem uma área de seção transversal perpendicular à direção do movimento. O fluido com densidade está sendo “empurrado” pelo projétil.
A taxa de fluxo de massa ( ) é basicamente a quantidade de massa do fluido que passa pelo projétil por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a fórmula:
á
Substituindo os valores:
Então, mostramos que a taxa de fluxo de massa é .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos derivar que a força de arrasto resultante sobre o projétil é , assumindo que todo o fluido é acelerado até a velocidade do projétil.
A força de arrasto ( ) está relacionada à mudança de momentum do fluido. Se o projétil está acelerando o fluido de velocidade 0 para , a força necessária para isso pode ser calculada pela taxa de fluxo de massa multiplicada pela mudança de velocidade.
Usando a taxa de fluxo de massa que encontramos na parte (a):
Portanto, a força de arrasto é .

Passo 4

Apesar de termos mostrado que a força de arrasto seria sob a suposição simplificadora de que todo o fluido é acelerado, na realidade, nem todo o fluido atinge essa velocidade. Por isso, introduzimos um fator que ajusta essa força de acordo com a forma do projétil:
Aqui, depende da forma do projétil. Por exemplo, para uma esfera, .

Resposta

A taxa de fluxo de massa que o projétil enfrenta é , e a força de arrasto resultante sobre o projétil é . Considerando o fator para ajustar de acordo com a forma do projétil, a força de arrasto fica:

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