A origem da força de arrasto quadrática sobre qualquer partícula em um fluido é a inércia do fluido que o projétil impulsiona. (a) Considerando que o projétil tem uma área de seção transversal
(normal à sua velocidade) e velocidade
, e que a densidade do fluido é
, mostre que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido (massa/tempo) é
. (b) Fazendo a suposição simplificadora de que todo o fluido é acelerado a uma velocidade
do projétil, mostre que a força de arrasto resultante sobre o projétil é
. Certamente, não é verdade que todo o fluido que o projétil encontra é acelerado até a velocidade total
, mas devemos estimar que a força deveria, na realidade, ter a forma
onde
é um número menor do que 1 , que depende da forma do projétil, com
pequeno para um corpo longilíneo e grande para um corpo longo com frente planar. Isso se mostra verdadeiro e, para uma esfera, o fator
é determinado como sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a força de arrasto que um projétil enfrenta ao se mover em um fluido. Vamos precisar entender conceitos de dinâmica dos fluidos, como taxa de fluxo de massa e força de arrasto quadrática. Vamos usar fórmulas básicas de física para derivar as expressões pedidas.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos mostrar que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido (massa por tempo) é dada por
.
Imagine que o projétil está se movendo a uma velocidade
e tem uma área de seção transversal
perpendicular à direção do movimento. O fluido com densidade
está sendo “empurrado” pelo projétil.
A taxa de fluxo de massa (
) é basicamente a quantidade de massa do fluido que passa pelo projétil por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, mostramos que a taxa de fluxo de massa é
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Queremos derivar que a força de arrasto resultante sobre o projétil é
, assumindo que todo o fluido é acelerado até a velocidade
do projétil.
A força de arrasto (
) está relacionada à mudança de momentum do fluido. Se o projétil está acelerando o fluido de velocidade 0 para
, a força necessária para isso pode ser calculada pela taxa de fluxo de massa multiplicada pela mudança de velocidade.
Usando a taxa de fluxo de massa que encontramos na parte (a):
Portanto, a força de arrasto é
.
Passo 4
Apesar de termos mostrado que a força de arrasto seria
sob a suposição simplificadora de que todo o fluido é acelerado, na realidade, nem todo o fluido atinge essa velocidade. Por isso, introduzimos um fator
que ajusta essa força de acordo com a forma do projétil:
Aqui,
depende da forma do projétil. Por exemplo, para uma esfera,
.
Resposta
A taxa de fluxo de massa que o projétil enfrenta é
, e a força de arrasto resultante sobre o projétil é
. Considerando o fator
para ajustar de acordo com a forma do projétil, a força de arrasto fica: