Use o método do Problema 2.7 para resolver o seguinte: uma massa está submetida a mover-se ao longo do eixo sujeita a uma força , onde e são constantes. (a) Determine se a velocidade inicial for no instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa que está se movendo ao longo do eixo sob a ação de uma força , onde e são constantes. A gente precisa encontrar a função velocidade considerando que a velocidade inicial é no instante . Vamos usar os conceitos de dinâmica e resolver uma equação diferencial para isso.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração , ou seja, . Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:

Passo 3

Substituindo a força dada no enunciado na equação acima:
Isso nos dá uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar .

Passo 4

Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Primeiro, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral à esquerda será em relação a e a da direita em relação a :

Passo 6

Resolvendo a integral à esquerda:
Simplificando, temos:

Passo 7

Agora, vamos isolar :
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , :
Resolvendo para :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A função velocidade é dada por:

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