Use o método do Problema 2.7 para resolver o seguinte: uma massa
está submetida a mover-se ao longo do eixo
sujeita a uma força
, onde
e
são constantes. (a) Determine
se a velocidade inicial for
no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa
que está se movendo ao longo do eixo
sob a ação de uma força
, onde
e
são constantes. A gente precisa encontrar a função velocidade
considerando que a velocidade inicial é
no instante
. Vamos usar os conceitos de dinâmica e resolver uma equação diferencial para isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante
sobre um objeto é igual à massa
multiplicada pela aceleração
, ou seja,
. Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Passo 3
Substituindo a força dada no enunciado na equação acima:
Isso nos dá uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 4
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Primeiro, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral à esquerda será em relação a
e a da direita em relação a
:
Passo 6
Resolvendo a integral à esquerda:
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Resolvendo para
:
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A função velocidade
é dada por: