(a) A Equação (2.33) fornece a velocidade de um objeto largado do repouso. No inicio, quando
é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e (2.33) deve concordar com o resultado
para um objeto em queda livre no vácuo. Mostre que esse é o caso. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
, para a qual os primeiros dois ou três termos são certamente uma boa aproximação quando
é pequeno.]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a Equação (2.33) que descreve a velocidade de um objeto que é largado do repouso, considerando a resistência do ar. No início da queda, quando a velocidade vertical
é pequena, a resistência do ar deve ser quase desprezível. Nesse caso, a equação deve se aproximar de
, que é a velocidade de um objeto em queda livre no vácuo (sem resistência do ar). Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor para aproximar a equação quando
é pequeno.
Passo 2
Vamos lembrar da série de Taylor para a função exponencial
:
Essa série nos mostra que, para valores pequenos de
, os primeiros termos são suficientes para uma boa aproximação. Ou seja, se
for pequeno, podemos considerar apenas os primeiros dois ou três termos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa ideia à Equação (2.33). Embora não tenhamos a forma exata da equação, vamos assumir que ela envolve um termo exponencial que depende de
. Vamos chamar esse termo de
, onde
é uma constante relacionada à resistência do ar.
Passo 4
Substituindo na série de Taylor, temos:
Como
é pequeno no início da queda, podemos ignorar os termos de ordem superior, ficando:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na Equação (2.33), que suponhamos ser:
fica:
No entanto, isso parece redundante, então vamos ajustar nossa abordagem considerando a velocidade em função do tempo.
Passo 6
Considerando a equação
e aplicando a aproximação da série de Taylor, temos:
Isso mostra que, para pequenos valores de
(e, portanto,
pequeno), a velocidade se aproxima de
.
Resposta
Assim, mostramos que, quando a velocidade vertical
é pequena, a Equação (2.33) se aproxima de
, confirmando que a resistência do ar é desprezível no início da queda.