(a) A Equação (2.33) fornece a velocidade de um objeto largado do repouso. No inicio, quando é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e (2.33) deve concordar com o resultado para um objeto em queda livre no vácuo. Mostre que esse é o caso. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para , para a qual os primeiros dois ou três termos são certamente uma boa aproximação quando é pequeno.]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a Equação (2.33) que descreve a velocidade de um objeto que é largado do repouso, considerando a resistência do ar. No início da queda, quando a velocidade vertical é pequena, a resistência do ar deve ser quase desprezível. Nesse caso, a equação deve se aproximar de , que é a velocidade de um objeto em queda livre no vácuo (sem resistência do ar). Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor para aproximar a equação quando é pequeno.

Passo 2

Vamos lembrar da série de Taylor para a função exponencial :
Essa série nos mostra que, para valores pequenos de , os primeiros termos são suficientes para uma boa aproximação. Ou seja, se for pequeno, podemos considerar apenas os primeiros dois ou três termos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa ideia à Equação (2.33). Embora não tenhamos a forma exata da equação, vamos assumir que ela envolve um termo exponencial que depende de . Vamos chamar esse termo de , onde é uma constante relacionada à resistência do ar.

Passo 4

Substituindo na série de Taylor, temos:
Como é pequeno no início da queda, podemos ignorar os termos de ordem superior, ficando:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na Equação (2.33), que suponhamos ser:
fica:
No entanto, isso parece redundante, então vamos ajustar nossa abordagem considerando a velocidade em função do tempo.

Passo 6

Considerando a equação e aplicando a aproximação da série de Taylor, temos:
Isso mostra que, para pequenos valores de (e, portanto, pequeno), a velocidade se aproxima de .

Resposta

Assim, mostramos que, quando a velocidade vertical é pequena, a Equação (2.33) se aproxima de , confirmando que a resistência do ar é desprezível no início da queda.

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