Uma massa
repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito e está atada a um fio de massa desprezível. O fio segue horizontalmente até a borda da mesa, onde passa por uma roldana de massa desprezível, sem atrito, e a seguir é pendurado verticalmente. Uma segunda massa
é agora atada a outra extremidade do fio. Obtenha a Lagrangiana para esse sistema. Determine a equação de movimento de Lagrange e resolva-a para a aceleração dos blocos. Como sua coordenada generalizada, use a distância
da segunda massa abaixo do topo da mesa.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema com duas massas,
na mesa sem atrito e
pendurada por um fio que passa por uma roldana sem atrito. Precisamos encontrar a Lagrangiana desse sistema, derivar a equação de movimento usando o formalismo de Lagrange e, por fim, calcular a aceleração das massas. Para isso, vamos usar a distância
que a massa
desce como nossa coordenada generalizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana (
) é a diferença entre a energia cinética (
) e a energia potencial (
) do sistema:
Precisamos determinar
e
para as duas massas.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética de cada massa. Para
, que se move horizontalmente com velocidade
:
Para
, que se move verticalmente com a mesma velocidade
(já que o fio é inextensível):
Então, a energia cinética total é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial. Considerando que a energia potencial gravitacional de
depende da altura, e assumindo que a energia potencial de
na mesa é constante (podemos considerar zero):
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Agora, juntando
e
, a Lagrangiana fica:
Passo 6
Para encontrar a equação de movimento, usamos a equação de Lagrange:
Vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 7
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Depois, a derivada temporal dessa expressão:
Passo 8
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 9
Substituindo na equação de Lagrange:
Rearranjando para encontrar a aceleração:
Resposta
A aceleração dos blocos é: