Uma massa repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito e está atada a um fio de massa desprezível. O fio segue horizontalmente até a borda da mesa, onde passa por uma roldana de massa desprezível, sem atrito, e a seguir é pendurado verticalmente. Uma segunda massa é agora atada a outra extremidade do fio. Obtenha a Lagrangiana para esse sistema. Determine a equação de movimento de Lagrange e resolva-a para a aceleração dos blocos. Como sua coordenada generalizada, use a distância da segunda massa abaixo do topo da mesa.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema com duas massas, na mesa sem atrito e pendurada por um fio que passa por uma roldana sem atrito. Precisamos encontrar a Lagrangiana desse sistema, derivar a equação de movimento usando o formalismo de Lagrange e, por fim, calcular a aceleração das massas. Para isso, vamos usar a distância que a massa desce como nossa coordenada generalizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana ( ) é a diferença entre a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ) do sistema:
Precisamos determinar e para as duas massas.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética de cada massa. Para , que se move horizontalmente com velocidade :
Para , que se move verticalmente com a mesma velocidade (já que o fio é inextensível):
Então, a energia cinética total é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial. Considerando que a energia potencial gravitacional de depende da altura, e assumindo que a energia potencial de na mesa é constante (podemos considerar zero):
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Agora, juntando e , a Lagrangiana fica:

Passo 6

Para encontrar a equação de movimento, usamos a equação de Lagrange:
Vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 7

Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Depois, a derivada temporal dessa expressão:

Passo 8

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 9

Substituindo na equação de Lagrange:
Rearranjando para encontrar a aceleração:

Resposta

A aceleração dos blocos é:

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